Esercizio senza ausilio di programmini

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MB.enigmi
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Esercizio senza ausilio di programmini

Messaggio da MB.enigmi » dom gen 15, 2017 9:11 am

È possibile risolvere questo esercizio senza l'ausilio di un programmino?

Un professore distratto si lascia rinchiudere in un Museo. Un guardiano si accorge della sua presenza e gli fa osservare che è vietato entrare nel museo a quell'ora. Gli propone
di lasciarlo uscire se risolve l'enigma seguente.
« Ecco un numero : 3 892 153. Un computer stabilirà rapidamente che è uguale à 1752^2 + 907 X 907,
ma anche a 1172^2 + 1587^2 . Saprete trovare due numeri interi più grandi di 1 di cui è il prodotto ? »
Quali sono questi numeri ?

Pasquale
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Re: Esercizio senza ausilio di programmini

Messaggio da Pasquale » lun gen 16, 2017 6:41 pm

Scusa, non mi è chiara la domanda. Potresti riformularla in modo diverso e più articolato? Che scuola fai?
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MB.enigmi
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Re: Esercizio senza ausilio di programmini

Messaggio da MB.enigmi » lun gen 16, 2017 8:38 pm

Ciao, al momento posseggo solo il diploma di scuola superiore...
La mia domanda era riferita al fatto che fattorizzando col pc il numero si perviene subito alla soluzioni e mi chiedevo appunto quale fosse la strada per farlo senza il pc, ossia trovare un'idea furba per sfruttare i dati del problema e risolverlo.

Gianfranco
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Re: Esercizio senza ausilio di programmini

Messaggio da Gianfranco » lun gen 16, 2017 10:04 pm

Ciao MB.Enigmi, e grazie per il problema.
Pasquale,
sappiamo che 3892153 si può esprimere (o "partizionare") in due modi diversi come somma di due quadrati, cioè:
1) 3892153=1752^2 + 907^2
2) 3892153=1172^2 + 1587^2
Utilizzando questi dati e facendo semplici calcoli manuali, bisogna scomporre 3892153 in due fattori maggiori di 1.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Esercizio senza ausilio di programmini

Messaggio da Gianfranco » mar gen 17, 2017 5:11 pm

Propongo tre soluzioni.
--------------
Soluzione 1 - Metodo generale meccanico, fattibile con calcoli manuali non troppo complicati.
Secondo un'informazione molto confidenziale di Eulero,
"Se un numero naturale si può esprimere in due modi diversi come somma di due quadrati
allora è scomponibile in due fattori della stessa forma."

Ovvero:
Se n=a^2+b^2=c^2+d^2
allora n=(p^2+q^2)(x^2+y^2)
Nel nostro caso:
Visto che: 3892153=1752^2+907^2=1172^2+1587^2
allora esistono p, q, x, y, tali che: 3892153=(p^2+q^2)(x^2+y^2)
Per trovare i quattro numeri si procede così:

1) Calcolare \large h=\frac{(a+c)}{2}=\frac{(1752+1172)}{2}=1462

2) Calcolare \large k=\frac{(b+d)}{2}=\frac{(907+1587)}{2}=1247

3) Calcolare p=MCD(h,k)=43

4) Calcolare \large x=\frac{h}{p}=34

5) Calcolare \large y=\frac{k}{p}=29

6) Calcolare q=MCD(h-p,q-k)=10

Si conclude che:

3892153=(43^2+10^2)(34^2+29^2)=1949 \cdot 1997

--------------
Soluzione 2 - Basata sulla scomposizione negli interi di Gauss.
In questo caso è sufficiente una sola coppia di quadrati.
Considero 1172^2 + 1587^2.
Negli interi di Gauss si fattorizza così:
(1172 + 1587i)(1172 - 1587i)
I due fattori, a loro volta si scompongono così:
(10-43i)(29-34i)(10+43i)(29+34i)
Ricomponiamo i fattori in modo da ottenere numeri interi:
(10-43i)(10+43i)=1949
(29-34i)(29+34i)=1997
In conclusione:
3892153=1949*1997
In questa soluzione ho usato il computer per le ulteriori fattorizzazioni negli interi di Gauss.
--------------
Soluzione 3 - Basata sulla fortuna e velocissima.
Ecco le considerazioni.
a) Un risultato di Eulero (o di Fermat?) ci dice che un numero naturale rappresentabile in due modi diversi come somma di due quadrati è il prodotto di due fattori primi del tipo 4k+1. Il che è fortemente collegato a quanto detto nella soluzione 1.
b) Gli autori di questo indovinello hanno scelto un numero "difficile da fattorizzare a mano".
c) I numeri "difficili da fattorizzare a mano" hanno i fattori intorno alla loro radice quadrata.
d) \sqr {3892153}=2000 scarso.
e) Un numero del tipo 4k+1 vicino a 2000 scarso è 1997.
f) Toh, guarda caso, 3892153 è divisibile per 1997.
g) Facendo la divisione ho trovato anche l'altro numero che è 1949.
In conclusione:
3892153=1949*1997
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

delfo52
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Re: Esercizio senza ausilio di programmini

Messaggio da delfo52 » mar gen 17, 2017 5:38 pm

Grande Gianfranco ! Godibilissima risposta.
Enrico

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Re: Esercizio senza ausilio di programmini

Messaggio da Pasquale » mer gen 18, 2017 1:16 am

Molto interessante, Gianfranco. Sono stato quasi una giornata intera alla ricerca di una soluzione, sfiorando qualcosa che rassomigliasse alla prima soluzione riportata, con vari tentativi che da una somma conducesse ad un prodotto, ma ogni volta non mi è riuscito di pervenire ad un divisore comune fra gli addendi in gioco, trasformati in vario modo (avevo preso in considerazione soltanto una delle due somme indicate).
Debbo aggiungere che mi è capitato anche di provare quella sorta di media, però con gli operatori al quadrato e comunque senza sapere il perché. Insomma andavo a tentoni, poco ragionando.
Sarebbe interessante comprendere perché il procedimento ha funzionato, così come riportato, ovvero se funziona sempre, ovvero se in tutti i casi similari si perviene sempre ad un MCD.
Da notare che i 4 addendi quadrati iniziali devono essere tali che vi siano sempre una coppia di pari ed una di dispari, oppure che siano tutti pari o tutti dispari, ai fini della determinazione di h e k.
Direi che è sbalorditivo il modo con cui quelle manipolazioni conducono direttamente ai due fattori cercati.

Molto simpatico il secondo procedimento con l'uso del fattore immaginario.

Il terzo era quello più vicino all'uso del computer, da un punto di vista del procedimento, orientato alla ricerca di un divisore per tentativi successivi a partire dal valore della radice e procedendo nel caso specifico da 1971 verso il 3.

Da quanto ci dici, molto bravo anche Eulero :D
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peppe
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Re: Esercizio senza ausilio di programmini

Messaggio da peppe » mer gen 18, 2017 11:54 pm

Io sono rimasto a bocca aperta.
Mi sembra quasi un gioco di prestigio, in cui il prestigiatore
svela il "trucco" della sua magia.

Poi, come al solito, incuriosito dall'affermazione:
" Se un numero naturale si può esprimere in due modi diversi come somma di due quadrati
allora è scomponibile in due fattori della stessa forma "


mi sono messo a cercare per approfondire l'argomento. Qui ho trovato la
Proposizione 3.1.:
" Siano n;m due numeri appartenenti all'insieme N+. Se n e m possono essere scritti come
somma di due quadrati di interi, allora anche nm può essere scritto come somma di due quadrati di interi. "


Non ci ho capito nulla! Il che costituisce un valore aggiunto alla spiegazione del nostro "mago", che
invece sono riuscito a capire senza difficoltà.

E la cosa non finisce qui.
Infatti, come sempre succede, a furia di cercare, si scovano altre curiosità... che, almeno per me, rendono
proficua la partecipazione al forum.

Giusto per fare un esempio, durante la ricerca ho trovato questo file
in cui vengono proposti numerosi quesiti e riportate le relative soluzioni.
Mi hanno incuriosito i quesiti numero 17 e numero 23.
Li propongo qui perché la soluzione del primo non mi è chiara, e quella del secondo mi ha chiarito
le idee su un argomento che ignoravo...

Quesito n.17.
Sia A la somma delle cifre di $2009^{2009}$ e B la somma delle cifre di A.
Quanto vale la somma delle cifre di B?


Soluzione quesito n.17:
Stimando il numero di cifre si trova che la risposta al problema è minore
di 12. Inoltre, ogni numero è congruo modulo 9 alla somma delle sue cifre.


Ho calcolato con WolframAlpha:

$2009^{2009}$ =
4860634075976741550873318090381650323611933510915648748925082545868153514437255003077878933959
3426480280486882269712674884836574312070759882855497999825128911430019910455473158193997407616
6040044898616366571717429934346339880899748354998033212671145687638883375998078378262541499938
3533152292624852338061201602736981951404471695371631369996783643612581162223994760939593969710
107835068026468701085352...

Decimal approximation:
4.860634075976741550873318090381650323611933510915648... × 10^6635
Number length: 6636 decimal digits
da dove scaturisce l'affermazione riortata nella soluzione?
+++
Quesito n.23.
Dimostrare che il prodotto di due somme di due quadrati è anch'esso somma di due quadrati.

Soluzione quesito n.23:
$(x^2 + y^2)(z^2 + w^2) = (xz + yw)^2 + (xw - yz)^2$

Ho calcolato la somma dei due quadrati: $(xz + yw)^2 + (xw - yz)^2$ e i conti tornano.
Però non riuscivo a capire da dove saltava fuori il segno meno all'interno del secondo quadrato:$(xw - yz)^2$

Ho approfondito la ricerca sullo sviluppo della somma dei quadrati :$(a^2 + b^2) = ?$, per
scovare una qualche soluzione, analoga a quella della differenza di due quadrati:$(a^2 - b^2) = (a+b)(a-b)$

Questa chiarissima dissertazione sull'argomento somma di due quarati
è la dimostrazione pratica che la partecipazione al forum è proficua...
+++
E a propsito di potenze e congruenze, ho trovato interessante il capitolo 2.4.1
relativo agli approfondimenti sull'argomento :
" Elevamento a potenza ", che è possibile leggere a pagina 26 di questo corposo tomo in formato .pdf

Saluti. peppe
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

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Re: Esercizio senza ausilio di programmini

Messaggio da Pasquale » gio gen 19, 2017 1:03 am

Ultimamente la navigazione è diventata sempre più complicata e lenta, nonostante abbia cambiato più di un browser.
Farò un'ultima prova col browser che mi dicono sia il più efficiente fra tutti, fornito per altro da Base5:

il ....................PEPPEBROWS :P

Peppe, sei troppo forte.
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Re: Esercizio senza ausilio di programmini

Messaggio da peppe » gio gen 19, 2017 7:25 am

...E tu troppo buono caro Pasquale. :D
Grazie . Saluti peppe.
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Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

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Re: Esercizio senza ausilio di programmini

Messaggio da MB.enigmi » gio gen 19, 2017 8:31 pm

Grazie Gianfranco e gli altri per le ottime soluzioni.

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