"Esercizi sul principio dei cassetti" - N.10 Somma divisibile per 5

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"Esercizi sul principio dei cassetti" - N.10 Somma divisibile per 5

Messaggio da Admin » ven ago 10, 2007 11:28 am

Admin ha scritto:Dalla sezione "il principio dei cassetti"

10. Somma divisibile per 5

Siano dati 5 numeri naturali a1, ... , a5 nessuno dei quali sia divisibile per 5.
Dimostrate che la somma di alcuni di essi (da 2 a 5) è divisibile per 5.
Essendo i numeri a_{\small{1}},...,a_{\small{5}} non divisibili per 5, significa che non appartengono alla classe di resto modulo 5, C_5(0).
Si nota che la somma di 2 numeri naturali è divisibile per 5, se essi appartengono entrambi alla classe C_5(0), oppure appartengono rispettivamente alle classi C_5(1),C_5(4), oppure alle classi C_5(2),C_5(3).

ora, affinchè nell'insieme dei 5 numeri, non vi siano sottinsiemi di numeri la cui somma sia divisibile per 5, condizione necessaria è che la somma di 2 dei 5 numeri non sia divisibile per 5;
per quanto detto sopra, quindi, i 5 numeri a_{\small{1}},...,a_{\small{5}} possono appartenere solo ad una classe della coppia \{C_5(1),C_5(4)\}, o ad una classe della coppia \{C_5(2),C_5(3)\}.
I casi possibili sono:
  • a_{\small{1}},...,a_{\small{5}} appartenenti a \{C_5(1),C_5(2)\}:
    in questo caso, se i 5 numeri appartengono ad un'unica classe, chiaramente la loro somma è divisibile per 5;
    se, invece, 4 o 3 numeri appartengono a C_5(1) (quindi i rimanenti appartengono a C_5(2)) si ha che
    a_1\/+\/a_2\/+\/a_3\/+\/a_5\/\equiv\/1+1+1+2\/\pmod 5\/\equiv\/0\/\pmod 5 ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
    se, invece, 4 o 3 numeri appartengono a C_5(2) si ha che
    a_1\/+\/a_4\/+\/a_5\/\equiv\/1+2+2\/\pmod 5\/\equiv\/0\/\pmod 5 ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
  • a_{\small{1}},...,a_{\small{5}} appartenenti a \{C_5(1),C_5(3)\}:
    se i 5 numeri appartengono ad un'unica classe, chiaramente la loro somma è divisibile per 5;
    se, invece, 4,3 o 2 numeri appartengono a C_5(1) (quindi i rimanenti appartengono a C_5(3)) si ha che
    a_1\/+\/a_2\/+\/a_5\/\equiv\/1+1+3\/\pmod 5\/\equiv\/0\/\pmod 5 ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
    se, invece, 1 solo numero appartiene a C_5(1) si ha che
    a_1\/+\/a_3\/+\/a_4\/+\/a_5\/\equiv\/1+3+3+3\/\pmod 5\/\equiv\/0\/\pmod 5 ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
  • a_{\small{1}},...,a_{\small{5}} appartenenti a \{C_5(2),C_5(4)\}:
    se i 5 numeri appartengono ad un'unica classe, chiaramente la loro somma è divisibile per 5;
    se, invece, 4 o 3 numeri appartengono a C_5(2) (quindi i rimanenti appartengono a C_5(4)) si ha che
    a_1\/+\/a_2\/+\/a_3\/+\/a_5\/\equiv\/2+2+2+4\/\pmod 5\/\equiv\/0\/\pmod 5 ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
    se, invece, 4 o 3 numeri appartengono a C_5(2) si ha che
    a_1\/+\/a_4\/+\/a_5\/\equiv\/2+4+4\/\pmod 5\/\equiv\/0\/\pmod 5 ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
  • a_{\small{1}},...,a_{\small{5}} appartenenti a \{C_5(3),C_5(4)\}:
    se i 5 numeri appartengono ad un'unica classe, chiaramente la loro somma è divisibile per 5;
    se, invece, 4,3 o 2 numeri appartengono a C_5(3) (quindi i rimanenti appartengono a C_5(4)) si ha che
    a_1\/+\/a_2\/+\/a_5\/\equiv\/3+3+4\/\pmod 5\/\equiv\/0\/\pmod 5 ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
    se, invece, 1 solo numero appartiene a C_5(3) si ha che
    a_1\/+\/a_3\/+\/a_4\/+\/a_5\/\equiv\/3+4+4+4\/\pmod 5\/\equiv\/0\/\pmod 5 ossia esiste un sottinsieme la cui somma è divisibile per 5;
Quindi comunque si scelga un insieme di 5 numeri naturali, vi sarà sempre un sottinsieme di numeri la cui somma è divisibile per 5.

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