Equazione funzionale

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karl
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Equazione funzionale

Messaggio da karl » mar apr 24, 2007 6:26 pm

Sia f:N-->N una funzione tale che risulti:
f(f(n))+2f(n)=3n+4
Calcolare f(10^6-1)
karl

Br1
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Messaggio da Br1 » mer apr 25, 2007 3:48 pm

Sono di corsa, ma spero di averlo capito lo stesso.

Pongo subito n=1 e trovo (*):

f(f(1))+2·f(1) = 3·1+4 = 7.

Bene, l'ultimo valore posso ora riscriverlo in questi
modi: 7 = 1+2·3 = 3+2·2 = 5+2·1.

Se avessi f(1) = 3 e quindi f(f(1)) = f(3) = 1,
per n = 3 troverei:

f(f(3))+2·f(3) = f(1)+2·f(3) = 3+2 = 5 ≠ 3·3+4 = 13.

Se avessi f(1) = 1, troverei f(f(1)) = f(1) = 5, e
anche questo non può essere.

Resta quindi la possibilità intermedia, fra le tre
riscritture di 7 viste sopra, cioè (°):
f(1) = 2, f(2) = 3.

Per la struttura della relazione data e in base ai
valori appena calcolati, allora, vedo subito che
f(3) = 4, f(4) = 5 etc., vale a dire: f(n) = n+1.

Dunque: f(10^{\script 6}-1) = 10^{\script 6}.

Se&o - ma ora devo scappare!

A presto (forse) :D



(*) Qui ho supposto che i numeri naturali comincino
con 1 (son partito così e non ho il tempo adesso per
riadattare il post...), anche se mi piace di più pensarli
alla maniera di Peano. Il ragionamento seguito,
comunque, potrebbe senz'altro essere applicato pure
iniziando da zero e il risultato non cambierebbe.

(°) Partendo da zero e ragionando su 4, esclusi i due
casi impossibili, sarei giunto a f(0) = 1 e f(1) = 2.
Ultima modifica di Br1 il mer apr 25, 2007 5:22 pm, modificato 1 volta in totale.
Bruno

karl
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Messaggio da karl » mer apr 25, 2007 5:16 pm

Le soluzioni di Br1 non si commentano.Si ammirano !
Posto anche la mia interpretazione che ,al confronto, e'
di tipo... scolastico.
Poiche' il secondo membro della relazione data e' lineare in n , e'
ragionevole ( diventera' certo..a posteriori) pensare che anche
f(n) sia lineare in n : f(n)=an+b , con a e b costanti da determinare.
Sostituendo nella relazione si ha:
a(an+b)+b+2an+2b=3n+4
Ovvero:
(a^2+2a)n+b(a+3)=3n+4
Essendo quest'ultima relazione un'identita' rispetto ad n , deve aversi:
a^2+2a=3,b(a+3)=4
Dalla prima equazione si ricava :
a_1=-3,a_2=1 e di queste soluzioni solo la seconda e' accettabile e porta
al risultato b=1
Pertant f(n)=n+1 e quindi f(10^6-1)=10^6
Alla prossima.
Karl

Br1
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Messaggio da Br1 » gio apr 26, 2007 7:47 am

Grazie, Karl, anche del problema e della
tua soluzione (che mi piace!) :wink:
Bruno

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