En passant.

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Bruno
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 997
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

En passant.

Messaggio da Bruno » mer mar 08, 2017 12:11 pm

Supponete di ripetere all'infinito la sequenza $\;1,\, 10,\, 1,\, 2,\, 5,\, 2,\, 5,\, 2,\, 1,\, 10,\,$ considerando $\,t_{0}=1$, $\,t_{1}=10\;$ e così via.

Quanto vale $\,\large t_{213}\,$?

E $\,\large t_{997}\,$? $\;$ Che cosa trovate subito dopo ?

Naturalmente, ciò che conta è fornire una regola, la più semplice e pratica che riuscite a immaginare, ma senza pc ;)
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
(Biagio Marin)

Pasquale
Livello 11
Livello 11
Messaggi: 2307
Iscritto il: mer mag 25, 2005 1:14 am

Re: En passant.

Messaggio da Pasquale » mer mar 08, 2017 7:20 pm

In prima battuta direi che se t_0=1, t_9=10, t_{10}=1, ecc., tenendo presente la sequenza \text 1, 10, 1, 2, 5, 2, 5, 2, 1, 10, per t_{213} farei \text 213 Mod 10 = 3 corrispondente al 2 del quarto elemento della sequenza, mentre per t_{997} farei \text 997 Mod 10 = 7, corrispondente al 2 dell'ottavo elemento della sequenza.
Così dicasi per ogni t, estraendone sempre il relativo modulo 10 e tenendo presente che la tabella inizia da t_0 e non da t_1.
Diciamo più semplicemente che è sufficiente contare nella tabella tanti elementi quanti quelli indicati dall'ultima cifra del t, aumentata di un'unità.
Oppure non ho compreso bene il quesito.
Ultima modifica di Pasquale il gio mar 09, 2017 7:14 pm, modificato 1 volta in totale.
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Bruno
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 997
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: En passant.

Messaggio da Bruno » gio mar 09, 2017 9:26 am

Proprio così, è sufficiente utilizzare l'ultima cifra dell'indice per individuare il corrispondente valore, bravo Pasquale :D

Un'interpretazione di tali numeri può essere questa: la sequenza elenca il massimo comun divisore di $\;\small{n^2-1}\;$ e $\;\small{n^2+9}\;$ per $\; \small{n \geq 0}$. È comunque probabile che siano altri metodi per generarla.

Le sequenze periodiche ammettono una rappresentazione molto particolare, descritta da Paolo P. Lava e Giorgio Balzarotti in un libro che trovo pregevole, forse l'unico testo in italiano che si occupa, in modo serio, documentato e stimolante, di sequenze di numeri interi: si tratta appunto di Sequenze di numeri interi, edito da Hoepli qualche anno fa.
Conosco personalmente Paolo, è un amico, egli collabora proficuamente con la OEIS di Neil Sloane da oltre dieci anni.

Nel settimo capitolo gli autori espongono un metodo per assegnare al generico termine $\;a_n\;$ di una sequenza periodica, con lunghezza del periodo $\;r$, una formula modulare del seguente tipo:
$\small{k_0\cdot (n \mod r)\, +\, k_1\cdot ((n+1) \mod r)\, +\, k_2\cdot ((n+2) \mod r)\; + \,...\,+\; k_{r-2}\cdot((n+r-2) \mod r)\, + \,k_{r-1}\cdot((n+r-1) \mod r)}\;$,
dove i coefficienti $\;k_i\;$ dipendono dai termini della porzione di sequenza che si ripete.
Questa rappresentazione è unica e la sua determinazione passa attraverso la risoluzione di $\;r\;$ equazioni lineari con $\;r\;$ incognite.
Ho chiesto a Paolo di individuare la formula modulare relativa alla sequenza $\;\small{1,\, 10,\, 1,\, 2,\, 5,\, 2,\, 5,\, 2,\, 1,\, 10,\,1,\, 10,\, 1,\, 2,\, 5,\, 2,\, 5,\, 2,\,...}\;$ ed ecco cosa è saltato fuori:
$a_n \; = \; \large{\frac{1} {75}}\cdot \small{(74\cdot(n \mod 10) - 61\cdot((n+1) \mod 10) + 14\cdot((n+2) \mod 10) + 29\cdot((n+3) \mod 10) - 16\cdot((n+4) \mod 10) +}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\small{29\cdot((n+5) \mod 10) - 16\cdot((n+6) \mod 10) - ((n+7) \mod 10) + 74\cdot((n+8) \mod 10) - 61\cdot((n+9) \mod 10))}\;$ :D

Penso che si tratti di un'interessante proprietà matematica delle sequenze periodiche ed è sicuramente poco conosciuta, anche se non è sempre pratica, direi, sul piano operativo.
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
(Biagio Marin)

Rispondi