Elucubrazioni Triangolari (per gli amici ET)

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fabtor
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Elucubrazioni Triangolari (per gli amici ET)

Messaggio da fabtor » mer set 08, 2010 6:02 pm

Premessa
Ho ripreso in mano unvecchio testo di geometria per le scuole superiori e come al solito ho lasciato correre un po' la fantasia.
Quanto segue sono i risultati. ;)
Tuttavia prima di "partire in tromba" con quanto la mia "fantasia malata" ha "partorito", giusto per facilitare le cose, riporto alcune definizioni e nozioni di base che sono propedeutiche alla risoluzione del "neonato".

Spero che la cosa possa interessarvi. :oops:

1 - Alcune definizioni propedeutiche al problema

Dato un Triangolo:
  • Si definisce Ortocentro (O) il punto d'intersezione delle sue tre altezze.
    Si definisce Incentro (I) il punto d'intersezione delle bisettrici dei suoi tre angoli interni.
    Si definisce Baricentro (Ba) il punto d'intersezione delle sue tre mediane.
Nota: Di seguito baricentro, incentro e ortocentro verrano detti i "tre centri" per comodità.

2 - Alcune nozioni propedeutiche al problema
  • In un triangolo scaleno i tre centri giacciono su una e una sola circonferenza definendola
    In un triangolo isoscele i tre centri giacciono su una stessa retta
    In un triangolo equilatero i tre centri sono coincidenti
Problema

Dati:

Dato un triangolo scaleno ABC i tre centri O,I e Ba costituiscono a loro volta i vertici di un triangolo.

Domande:
  • Questo triangolo rispetto ai suoi lati è sempre scaleno?
    In caso contrario come devono essere in rapporto i lati del triangolo ABC affinchè OIBa sia rispetto ai suoi lati Isoscele?
    E se si vuole che OIba sia Equilatero?
    Se si considera come base dei triangoli il lato minore del triangolo scaleno ABC e il lato diverso di quello Isoscele OIBa (ammesso che sia tale) che angolo formano le rette che contengono le due basi?
    E se il triangolo OIBa è equilatero (ammesso che sia possibile) quanto misura l'angolo minimo formato dalle rette su cui giaciono la base di ABC e l'opportunamente scelta base di OIba?
Ciao.

P.S. "A spanne" e con "l'aiuto grafico" io direi che l'eventuale triangolo che ha per vertici i tre centri sia sempre scaleno come quello ABC che di fatto lo genera*, ma non riesco a formalizzare analiticamente il tutto.

*Con questo non voglio dire che siano triangoli simili, ma solo che sono due scaleni.
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: |e^{-i\pi}|...

Pongo y = x^{2} quindi y=\frac {x^{2}}{pongo}
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]

Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de ... 526933.jpg

David
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Re: Elucubrazioni Triangolari (per gli amici ET)

Messaggio da David » ven gen 07, 2011 10:47 pm

Questo quesito me ne rammenta uno simile che recita più o meno così:

In un triangolo acutangolo scaleno la proiezione dell'altezza relativa alla base divide questa in 2 parti una tripla dell'altra.
Se assumiamo la base del triangolo pari a 1 quale sarà l'altezza del triangolo se vogliamo che la distanza fra l'incentro e il baricentro sia uguale a quella fra incentro e ortocentro?

Preso un sistema d'assi cartesiano il nostro triangolo avrà i vertici in :

A (0;0) B (1;0) C (u;v) ove sappiamo che u=1/4

I punti notevoli del triangolo ( dopo un pò di geometria analitica) hanno coordinate:
\Large  Ortocentro \\   O (x_o; y_o) \\ ossia  \\
O ( u; \frac {(1-u)u}{v})\\
\\Baricentro    T (x_t ; y_t)  \\ossia  \\
T  (\frac {1+u}{3}; \frac {v}{3})\\

\\Incentro \\   I (x_i ; y_i) \\ ossia  \\

I (\frac{u+\sqr{u^2+v^2}}{1+\sqr{u^2+v^2}+\sqr{(1-u)^2+v^2}} ;  \frac{v}{1+\sqr{u^2+v^2}+\sqr{(1-u)^2+v^2}})

Abbiamo lasciato per il momento la variabile u inespressa.
Dobbiamo ora scrivere per l'enunciato del problema:
\Large (x_i-x_o)^2+(y_i-y_o)^2 = (x_i-x_t)^2+(y_i-y_t)^2
sviluppando tale uguaglianza con le variabili u e v, sostituendo poi a u il valore noto 1/4.
Si arriva ad un'equazione abbastanza complessa nella variabile v che comunque ammette una sola radice reale positiva
v=2.339706 (valore approssimato)

Il vertice C è allora C (0.25 ; 2.33971) conseguentemente le coordinate dei punti notevoli diventano:
O (0.25 ; 0.0801383) T ( 0.416667 ; 0.779902) I (0.448025 ; 0.402703)
verifichiamo che :
\Large (0.448025-0.25)^2+(0.402703-0.0801383)^2=(0.448025-0.416667)^2+(0.402703-0.779902)^2
a meno dell'imprecisione cagionata dal calcolo di una radice v approssimata ( di un'equazione algebrica di ottavo grado)
Quindi realmente questi 3 punti notevoli di un triangolo scaleno possono giacere sui vertici di un triangolo isoscele
Inoltre al variare di u troviamo altri triangoli scaleni "speciali" che detengono questa caratteristica ad esempio assumendo u=0.1 troviamo non uno bensì 3 triangoli scaleni di questo genere.

fabtor
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Re: Elucubrazioni Triangolari (per gli amici ET)

Messaggio da fabtor » lun gen 24, 2011 10:58 pm

Davvero un bel lavoro David!!! :shock:

Anche se devo dire che c'è qualcosa che non riesco a mettere ancora del tutto a fuoco che mi lascia un po' perplesso. :oops:

Personalmente sto cercando di chiarirmi un po' le idee riprendendo in mano le definizioni e le loro implicazioni per cercare di trovare una risposta "usabile" alla scuola media. :|

Chissà se avrò fortuna... Per il momento vi linko questo a scopo puramente ludico sull'argomento ;):
http://digilander.libero.it/apuscio/puntinotevoli.htm
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: |e^{-i\pi}|...

Pongo y = x^{2} quindi y=\frac {x^{2}}{pongo}
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]

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