E se fosse 0?

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David
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E se fosse 0?

Messaggio da David » mar gen 18, 2011 9:56 pm

Una stazione meteorologica ha rilevato nel corso della giornata 5 temperature (tutte diverse fra loro) relative a una data località.

Le misurazioni effettuate detengono la precisione di 0.1 gradi centigradi.

La media aritmetica e la deviazione standard calcolate sui 5 valori risultano rispettivamente (Approssimate al decimo di grado) :
2.4 e 7.6, sapendo che la minima registrata è -8.0 mentre la massima risulta +12.2 qual'è la probabilità che il valore centrale (mediana) sia uguale a 0.0 gradi?

(N.B. Dobbiamo stabilire che un termometro affidabile segnerà 0.0 quando la temperatura "effettiva" è compresa fra -0.05 e +0.05 gradi)

delfo52
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Re: E se fosse 0?

Messaggio da delfo52 » mar gen 18, 2011 11:34 pm

chiamiamo A,B,C,D e E i cinque valori
nell'ipotesi cercata abbiamo
A= -8
C= 0
E= 12,2
B+D = 7,8
D può valere da 7,9 a 12,1
di conseguenza B assume di volta in volta valore decrescente da -0,1 a -4,3

Tutto ciò prendendo in considerazione solo il valore "media aritmetica" e gli estremi.
L'incidenza del valore di dispersione "deviazione standard" è fuori dalla mia portata.
Ma non so se si può parlare di "probabilità": a partire dai dati, i cinque valori o consentono che la deviazione standard sia quella cercata, o non lo consentono
Enrico

franco
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Re: E se fosse 0?

Messaggio da franco » mer gen 19, 2011 10:27 pm

Non credo di avere le capacità di risolvere analiticamente questo problema.
Ho provato però a rispolverare il basic per far fare il calcolo in maniera stupida al PC.
Metto qui sotto il procedimento ed il risultato in caratteri micro per non togliere il piacere a chi si vuole cimentare in maniera più elegante.
1.
Chiamo A, B, C, D, E le temperature (in ordine crescente) e fisso
A=-8
C=0
D=12,2
calcolo media e deviazione standard per tutti le possibili coppie di B e D (a passo 0,1) e conto quante volte il valore (approssimato al decimo) è pari a quanto richiesto.
Risultato N=15
2.
Ripeto il calcolo mantenendo fisse solo
A=-8
D=12,2
e conto le possibili terzine B, C e D che generano media e deviazione standard pari a quanto richiesto.
Risultato M=1162
3.
Probabilità che sia C=0 = N/M = 1,29088...%


salvo non improbabili errori :)

ciao
Franco

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Re: E se fosse 0?

Messaggio da delfo52 » mer gen 19, 2011 11:10 pm

a occhio, o meglio a intuito, mi sembrerebbe che, dati i tre valori ACE fissi, di coppie di valori da attribuire a B e D ce ne siano diverse che producano la media desiderata, ma (ripeto sempre a lume di naso), per ognuna di queste configurazioni la deviazione standard dovrebbe risultare diversa.
Enrico

David
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Re: E se fosse 0?

Messaggio da David » gio gen 20, 2011 8:43 pm

Enrico,comprendo perfettamente le perplessità da te sollevate,consentimi di elaborare tale quesito come un mero esperimento "mentale" senza appigli alla realtà fisica.

Ora in tale contesto puramente accademico,in assenza di ulteriori informazioni,siamo autorizzati a supporre che ogni combinazione di temperature (ottemperante ai dati forniti) sia equiprobabile,quindi l'evento "la mediana misurata è pari a 0.0 gradi" è da ritenersi probabile quanto l'evento "la mediana misurata è pari a 4.1 gradi".

In tale spazio dei campioni ove è possibile dedurre n valori compatibili per la temperatura centrale,allora avrà un senso affermare che la probabilità cercata vale praticamente 1/n.

Essendo in presenza di una variabile discreta che può essere incrementata e decrementata di 0.1 gradi, siamo in grado di derivare una probabilità che la mediana possa assumere il valore esatto di 0.0 ( dovendo in tale situazione considerare non un
punto bensì un intervallo che va da -0.05 a +0.05 gradi)

Sostanzialmente ciò a consentito a Franco in maniera pragmatica di arrivare a un risultato essenzialmente corretto ( a meno di una piccola discrepanza forse dovuta alle approssimazioni introdotte dal suo programma)

Relativamente alla risoluzione analitica del problema basta tenere presente le definizioni di media e varianza ( deviazione standard elevata a quadrato) per una variabile discreta, scrivere le relative equazioni e trovare il campo di soluzioni relative alla mediana.

Bye David

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