È e non è.

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Bruno
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È e non è.

Messaggio da Bruno » mar apr 02, 2019 10:20 am

Se il numero $\; m256 \;$ è un quadrato, allora $\,m\,$ è pari e non ha la forma $\; 3\cdot k+1$.
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Re: È e non è.

Messaggio da Info » mar apr 02, 2019 10:40 am

se m è 4 è 3*1+1 ed è pari, il risultato è un quadrato, 1024=256*4
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Re: È e non è.

Messaggio da Bruno » mar apr 02, 2019 10:44 am

m256 è una concatenazione, non un prodotto.
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Re: È e non è.

Messaggio da Info » mar apr 02, 2019 10:55 am

✓m256=✓(m*1000+256)=✓(m*4+1)*16

da dimostrare che sia intero e rispecchi la regola che hai dato.... oggi ci penso
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Re: È e non è.

Messaggio da Pasquale » mar apr 02, 2019 9:38 pm

Forse la risposta è nel quesito posto nella Sezione "Questioni Tecniche del Forum" . :?:
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Re: È e non è.

Messaggio da Bruno » mer apr 03, 2019 7:35 am

È giunto correttamente il tuo messaggio, Pasquale, e ti ringrazio moltissimo per avermi segnalato il refuso :wink:
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Re: È e non è.

Messaggio da Pasquale » mer apr 03, 2019 11:33 pm

(Ultima versione riveduta e corretta in alcune parti)

In prima battuta, un paio di domande:

1) Un numero N = m256 (col significato di m come dichiarato nel testo) può essere un quadrato?
2) Se N è un quadrato così come sopra, ‘ m ‘ può essere un numero pari, o meglio certamente e sempre pari?

A questo punto, pongo: N = m256 = m*1000 +256 = quadrato

Quindi possiamo affermare che N è un quadrato se con ‘a’ intero:

1000m = a^2 + 32a , perché: a^2 + 32a + 256 = (a + 16)^2

Dunque, dalla relazione: m = \frac{a^2 + 32a}{1000}, se esistono, bisogna trarre i valori di ‘a’ che rendono ‘m’ intera.

Per tali valori di ‘m’ il nostro N = m256 è certamente un quadrato.

Allora, se:

a(a+32) = 1000m, posso scrivere:

3) a + 32 = \frac {1000m}{a}

se a=1000, m = 1032 è uno dei valori che cerchiamo ( 1032256 = 1016^2 ).

Altri valori di m validi, che rendono cioè quadrato m256, sono tutti quelli che con riferimento alla 3) discendono da valori di ‘a’ divisori di ‘m’.

Prenderò in esame i divisori di m, scrivendo:

4) m = ka:

5) a + 32 = \frac{1000ka}{a}, da cui :

6) a = 1000k –32

7) m = k(1000k –32)

dalla quale per ogni k>=1 possiamo ricavare un insieme infinito, parte degli infiniti quadrati m256 ( es: per k = 1111; m = 1234285448; N = 1234285448256 = 1110984^2 )
Nei casi esaminati, la 7) risponde positivamente ed in modo evidente al punto 2), visto che il valore in parentesi è sempre pari, e per quanto riguarda il punto 1), se mi è riuscito di costruire dei quadrati che terminano con 256, vuol dire che esistono: non sono tutti quelli esistenti e dunque non sono certo di aver dato una risposta completa.

Infine: è possibile che m = k(1000k –32) abbia una forma del tipo 3x+1 ?

Per rispondere all’ultimo quesito, con riferimento alla 7), dovrebbe essere vero che:

k(1000k –32) – 1 = 3x
1000k^2 – 32k – 1 = 3x

Esprimendo l'ultima equazione in MOD 3 (spero sia lecito e di non sbagliare):

k^2 – 2k +2 = 0 ( non ha soluzioni reali e dunque 'm' non è divisibile per 3 )
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Re: È e non è.

Messaggio da Bruno » gio apr 04, 2019 3:05 pm

I tuoi passaggi, Pasquale, non sono mai banali :D

Eventualmente, per la prima parte, si potrebbe osservare che, se m256 = , allora deve esserlo pure m·250+64 = .
Ma questo significa che anche il primo membro dell'ultima uguaglianza è divisibile per 4 (il quadrato di un numero pari lo è sempre) e perciò m deve essere pari, dal momento che 250 non è divisibile per 4.

Riguardo all'ultima parte, Pasquale, in realtà esistono infiniti valori attribuibili a m che sono divisibili o non divisibili per 3. Nessuno di essi ha però la forma indicata.

(Pasquale, ho cancellato i post estranei.)
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Re: È e non è.

Messaggio da Gianfranco » gio apr 04, 2019 5:09 pm

Se il numero m256 è un quadrato, allora m è pari e non ha la forma 3·k+1.

Pasquale, complimenti per la soluzione!
Ecco la mia tardiva proposta. Ho cercato una soluzione assolutamente elementare.
Uso un po' di aritmetica modulare senza dare troppe spiegazioni.

Ipotesi: m256 è un quadrato.

Tesi 1: m è pari.
Tesi 2 : m non è del tipo 3k+1.

Osserviamo che l'ipotesi equivale a:
1000m+256=a^2

m, a, k indicano numeri naturali (o interi)
--------------------
Tesi 1.
Usiamo:
1000m+256=a^2

Supponiamo per assurdo che m sia dispari, cioè:
m=2k+1

Allora:
2000k+1000+256=a^2
2^3(250k+157)=a^2

Osserviamo che l'espressione in parentesi ha valore dispari perciò non può contenere il fattore 2 necessario a trasformare 2^3 in 2^4.

Quindi 2^3(250k+157) non può essere un quadrato.
CVD
--------------------
Tesi 2.
Usiamo:
1000m+256=a^2
da cui:
1000m=a^2-256

Osserviamo che, per ogni a, si ha che:
a^2 \bmod 3 = {0; 1}
da cui:
a^2-256 \bmod 3 = {0; 2}

Quindi deve essere:
1000 m \bmod 3 = m \bmod 3 = {0; 2}
CVD
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: È e non è.

Messaggio da Bruno » ven apr 05, 2019 8:23 am

Ottimo, Gianfranco, perfetto :D

MI associo ai tuoi complimenti per l'approccio di Pasquale.
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