Due, quattro, otto e sedici.

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Due, quattro, otto e sedici.

Messaggio da Bruno » mer set 26, 2018 3:03 pm

Esistono dei numeri naturali che, scritti in base $\,2$, $4$, $8\,$ e $\,16$, forniscono dei palindromi.

$21845\;$ (espresso nel sistema decimale) ha tale caratteristica, poiché:

- in base $\;2\;$ diventa: $\; 101010101010101$;
- in base $\;4\;$ diventa: $\; 11111111$;
- in base $\;8\;$ diventa: $\; 52525$;
- in base $\;16$, infine, diventa: $\; 5555$.

Questi numeri sono finiti o infiniti?
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Gianfranco
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Re: Due, quattro, otto e sedici.

Messaggio da Gianfranco » ven ott 19, 2018 8:55 pm

Sono infiniti.
Per esempio, osserviamo che:
16^3+1=8^4+1=4^6+1=2^{12}+1
Tutti questi numeri, nelle rispettive basi, hanno scritture palindrome del tipo: 10...01

Altri infiniti numeri palindromi dello stesso tipo si trovano così:
16^{3k}+1

Mi ha aiutato questo convertitore online che permettere di scegliere e visualizzare molte basi contemporaneamente: http://convertxy.com/index.php/numberbases/

P.S.
Perché 16^{3k}? Il problema è la base 8. Da dimostrare formalmente.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Due, quattro, otto e sedici.

Messaggio da Bruno » lun ott 22, 2018 8:28 am

Ottimo, Gianfranco :D

Proprio così: si può stabilire che quei numeri sono infiniti mostrando che ne fanno parte infiniti altri per i quali sia più facile trovare una formula generale.

Come dici tu:

$2^{12 n}+1 = 4^{6 n}+1 = 8^{4 n}+1 = 16^{3 n}+1$

e, se $\;\small{n>0}\,$:
$2^{12 n}+1\;$ in base $\; 2 \;$ ha la forma $\;1\overbrace{0 \,...\, 0}^{12 n-1 \; zeri}1$, che è un palindromo;
$4^{6 n}+1\;$ in base $\; 4 \;$ ha la forma $\;1\overbrace{0 \,...\, 0}^{6 n-1 \; zeri}1$, che è ancora un palindromo,

e similmente per i casi che restano.

Si può osservare che anche i numeri generati da $\;2^{12 n}-1\;$ sono palindromi nelle quattro basi indicate, per quanto questo fatto sia un po' meno immediato da verificare.
In effetti:

$2^{12 n}-1 = \sum_{k=0}^{12n-1} 1\cdot 2^k = \sum_{k=0}^{6n-1} 3\cdot 4^k = \sum_{k=0}^{4n-1} 7\cdot 8^k = \sum_{k=0}^{3n-1} f\cdot 16^k \;$ con $\;n \geq 1\;$ ed $\;f = 15$ .

Per esempio: $\;2^{24}-1 = 16777215
= \overbrace{1\,...\, 1}_{(base\; 2)}^{24} = \overbrace{3\,...\, 3}_{(base\; 4)}^{12} = \overbrace{7\,...\, 7}_{(base\; 8 )}^8 = \overbrace{f\,...\, f}_{(base\; 16)}^6\;\;$ :D


Grazie per la segnalazione del formidabile convertitore online :wink:
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Re: Due, quattro, otto e sedici.

Messaggio da Bruno » mar ott 23, 2018 2:22 pm

Ecco un'idea spuntata nella mia mente proprio mentre giocavo con il convertitore di Gianfranco :D

Che cosa hanno di speciale i numeri 71133682293291617, 2039387138692248617 e 7730653154937265643, scritti nell'usuale base decimale ?

Come prosegue la sequenza ?



Poscritto.
Solo con carta e penna la questione è inaffrontabile.
Convertxy.com permette di inquadrare le cose e con
qualche altro semplice programma (anche disponibile
in rete) si può esplorare l'argomento e trovare i primi
successivi termini.
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Re: Due, quattro, otto e sedici.

Messaggio da Bruno » mar nov 13, 2018 4:50 pm

I tre numeri indicati, sempre rimanendo nell'ambito delle basi numeriche, hanno un legame con 35, 49 e 56, rispettivamente :D



*** Aggiornamento del 23 dicembre 2018.

Ecco cosa succede passando i tre numeri in "Convert xy" (il link è nel post di Gianfranco).

b5.jpg
b5.jpg (17.71 KiB) Visto 1007 volte


Per proseguire la sequenza bisogna cercare, in buona sostanza, i numeri primi con la forma:

$25\cdot k^{10} + 27\cdot k^9 + 18\cdot k^8 + 22\cdot k^7 + 14\cdot k^6 + 23\cdot k^5 + 30\cdot k^4 + 22\cdot k^3 + 11\cdot k^2 + 14\cdot k +27$.

Se ne possono trovare diversi con Magma, Pari/GP etc., ma l'aggeggio appena scritto è piuttosto sgradevole... :mrgreen:
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