Due punti a caso

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franco
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Due punti a caso

Messaggio da franco » sab ott 14, 2017 4:21 pm

Non so se questo problema è già stato proposto; nel dubbio, eccolo:

Si scelgano due punti a caso (secondo una legge di distribuzione uniforme) nell'intervallo [0, 1].
Otterremo 3 intervalli di lunghezza a, b e c (a+b+c=1).
:?: 1. Qual è la probabilità che si possa costruire un triangolo con lati a, b e c?
:?: 2. Se tale triangolo esiste, qual è la probabilità che sia ottuso?


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Franco

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Re: Due punti a caso

Messaggio da delfo52 » dom ott 15, 2017 12:37 am

http://utenti.quipo.it/base5/probabil/probtria.htm

nell'archivio di B5, c'è tutto !!!
Enrico

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Re: Due punti a caso

Messaggio da franco » dom ott 15, 2017 9:44 am

Diciamo che la prima domanda coincide con il problema numero 3, quello dello spaghetto spezzato in tre.
Sul vecchio sito a quanto pare non c'è la soluzione quindi ci si può lavorare ...
Franco

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Pasquale
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Re: Due punti a caso

Messaggio da Pasquale » lun ott 16, 2017 12:05 am

Per quanto riguarda la possibilità di costruire un triangolo, semplici ragionamenti basati sui casi possibili mi hanno condotto al 50%
Tuttavia, per verificare tale risultato ho messo su un piccolo algoritmo che mi ha restituito un 25% relativamente alla costruzione di un triangolo qualsiasi ed un 17% sull'ottusangolo.
Pur non essendo la maniera migliore di affrontare un problema geometrico-matematico, vorrei capire quale errore ho commesso nella costruzione dell'algoritmo che di seguito trascrivo, perché finora non mi è riuscito di trovarlo. :( Grazie.

Codice: Seleziona tutto

RANDOMIZE

LET cont1=0
LET cont2=0

FOR m=1 TO 100000

10    LET x=RND
      LET y=RND 
      IF x=y THEN GOTO 10
       
      IF x<y THEN
         LET a=x
         LET b=y-x
         LET c=1-y
      ELSE
         LET a=y
         LET b=x-y
         LET c=1-x
      END IF
       
      IF a<b+c AND a>ABS(b-c) AND b<a+c AND b>ABS(a-c) AND c<a+b AND c>ABS(a-b) THEN 
         LET cont1=cont1+1
         IF a^2>b^2+c^2 OR b^2>a^2+c^2 OR c^2>a^2+b^2 THEN LET cont2=cont2+1
      END IF
       
   NEXT M
   PRINT "Probabilità costruzione triangolo qualsiasi:";cont1/1000
   PRINT "Probabilità costruzione triangolo ottusangolo:";cont2/1000  
END
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Pasquale
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Re: Due punti a caso

Messaggio da Pasquale » mar ott 17, 2017 4:27 pm

Per quanto concerne la possibilità di costruire un triangolo qualsiasi, direi che dividendo il segmento PQ=1 in 3 parti, di cui la prima a=1/2 e le altre due b+c=1/2, così determinate casualmente dai punti X ed Y all'interno di PQ, appare chiaro anche visivamente che non è possibibile costruire un triangolo, perché a=b+c e non a< b+c, come dovrebbe essere.
Nella situazione descritta, immaginiamo il segmento PQ formato da PX+XY+YQ (a+b+c), ove X ed Y sono i due punti a caso:
notiamo ora che non appena PX<1/2, sarà XQ>1/2 ed allora sarà sufficiente in questo caso che il punto casuale Y vada a cadere all'interno di XQ, affinché XY+YQ>PX, il che consentirà di costruire un triangolo.
In sostanza, finché PX<1/2, cioè finché X cade in un punto compreso fra P ed il punto mediano di PQ, esclusi i punti estremi, trascurabli rispetto all'infinità degli altri punti dell'intervallo, è sempre possibile costruire un triangolo, purché il secondo punto Y vada a cadere nell'altra metà, compreso il suddetto punto mediano e l'estremo Q.
Quindi X può occupare il 50% della lunghezza di PQ, ma Y deve occupare l'altra metà e non deve cadere nella precedente prima metà, altrimenti si avrebbe a+b<c, e dunque abbiamo una condizione AND, per cui 50/100 x 50/100 = 25/100.
Da notare che il calcolo a mio avviso è approssimativo, perché il segmento PX non rappresenta con precisione il 50% di PQ, così come non lo rappresenta XQ, per cui la vera probabilità, posta i la dimensione del segmento esistente fra due punti, dovrebbe essere: (50/100 - i)x(50/100+i)= 25/100 - i^2, cioè un microbo^2 meno del 25%.
Il tutto, salvo errori logici che non sono mai da escludere.
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

panurgo
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Re: PAR: Due punti a caso

Messaggio da panurgo » mer nov 01, 2017 1:31 pm

Salve, colleghi basecinquini, ritorno a voi dopo un tempo non infinitesimo e, soprattutto, dopo il mio trasloco in via Ipazia!

In un angolino della mia mente c'è un vago ricordo di qualcosa come "spaghetti e triangoli". Comunque, se la domanda è in questi termini allora osservate la figura seguente
DuePuntiACaso001.png
DuePuntiACaso001.png (8.97 KiB) Visto 1585 volte
In ascissa abbiamo $a$, in ordinata $b$; le rette diagonali delimitano la fascia di piano nella quale $c = 1 - a - b \leq 1/2$; la retta orizzontale delimita la fascia di piano in cui $b \leq 1/2$, la retta verticale quella in cui $a \leq 1/2$.
Per avere un triangolo queste tre condizioni devono essere vere simultaneamente: ciò è quanto accade nel triangolo centrale. Il triangolo formato dagli asse e dalla retta $a + b = 1$ rappresenta l'universo campionario: il rapporto tra le due aree ($1/4$) è il valore della probabilità...
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

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