Distanza media in un triangolo isoscele

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Distanza media in un triangolo isoscele

Messaggio da franco » dom giu 09, 2019 11:06 am

Sia ABC un triangolo isoscele con AB = AC = 1 e angolo α in A.
Si scelgano a caso un punto P sul lato AB e un punto Q sul lato AC.
:?: Esprimere in funzione di α la distanza media M(α) fra P e Q.

Applicazione numerica (per chi vuol farsi aiutare dal PC):
:?: Calcolare M(α) per α = π/3, α = π/2, α = 2π/3
:?: Calcolare il limite di M(α) per α che tende a 0 e per α che tende a π.

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Re: Distanza media in un triangolo isoscele

Messaggio da Pasquale » mar giu 11, 2019 3:08 am

Con routine a modo mio, considerando $\alpha$ variabile fra 0° e 180°, mi risulterebbe un PQ medio casuale arrotondato a 0,826.
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Re: Distanza media in un triangolo isoscele

Messaggio da franco » mar giu 11, 2019 7:51 am

Pasquale ha scritto:
mar giu 11, 2019 3:08 am
Con routine a modo mio, considerando $\alpha$ variabile fra 0° e 180°, mi risulterebbe un PQ medio casuale arrotondato a 0,826.
Ho impostato anche io una routine di calcolo nel frattempo che lavoro a una soluzione analitica.
Facendo il medione però ottengo un numero diverso: circa 0,723

Giusto per una verifica, quanto ti viene per i tre casi numerici previsti nel testo? (α = π/3, α = π/2, α = 2π/3)
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Re: Distanza media in un triangolo isoscele

Messaggio da Pasquale » mar giu 11, 2019 2:20 pm

Franco, non posso rispondere a questa domanda, perché ho impostato una routine diversa che tiene conto di 5.000.000 di alfa, scelti anch'essi a caso fra 0 e 180°. Ho pensato che 3 alfa soltanto fossero pochi.
Chiaramente il dato che ha partorito la routine (lanciata più volte) è approssimato, ma l'approssimazione alla 3^ cifra decimale è risultata stabile.

Tuttavia, poiché gli angoli rispetto ai quali ho scelto a caso i punti P e Q sono anch'essi casuali, con misure anche decimali, provo a studiare qualche altra routine che distribuisca la casualità solo sulla posizione dei P e Q, in pari quantità per ciascuno dei 180 alfa, presi di grado in grado fra i 180°di cui trattiamo.

Dovrebbe venir fuori un risultato più vicino alla precisione, comunque da confrontare con il precedente 0,826.

Il fatto che abbia trattato con casualità anche l'ampiezza di alfa è dovuto ad una semplificazione automatica rispetto al tipo di impostazione della routine (segue chiarimento per chi fosse interessato):
.
.
Triangolo isoscele.JPG
Triangolo isoscele.JPG (11.27 KiB) Visto 197 volte
.
.
Con riferimento al piano cartesiano di cui al disegno , che rappresenta i lati del triangolo in questione, ho mantenuto fisso il lato VA di misura 1, su cui scegliere in modo casuale un punto P, ed ho variato l’angolo alfa nell’ambito dei 180°, stabilendo in tal modo la posizione del lato VB, su cui scegliere un punto Q, anche questo in modo casuale. La routine calcola conseguentemente ogni volta la distanza PQ.
In particolare, nella routine l’operazione di scelta casuale riguarda la posizione del punto Q nell’ambito dell'area del rettangolo che contiene il semicerchio e conseguentemente viene definita automaticamente anche l’apertura dell’angolo alfa.
Se in base alla posizione di Q la misura di VQ non supera l’unità, la posizione viene ritenuta valida e quindi, una volta scelta casualmente anche la posizione del punto P , si misura PQ.
L’operazione viene ripetuta 5.000.000 di volte e tutte le misure di PQ vengono ogni volta sommate.
Dividendo infine per 5000.000 la somma totale, ottengo un risultato medio, che quanto sia aderente a quanto cercato è ancora da valutare.

LET cont=0
LET y1=0
LET PQ=0
RANDOMIZE

do
LET x2=INT(1000*(RND*2))/1000 !'ascissa casuale del punto Q
LET y2=INT(1000*RND)/1000 !'ordinata casuale del punto Q
LET DQV=SQR((1-x2)^2+(y2)^2) !'distanza del punto Q dal vertice
IF DQV<=1 THEN
LET cont=cont+1
LET x1=INT((1+RND)*1000)/1000 !'ascissa casuale del punto P
LET PQc=SQR((x1-x2)^2+(y2)^2)!'misura PQ casuale
LET PQ=PQ+PQc
IF cont=5000000 THEN EXIT DO
END IF


LOOP

PRINT "PQ medio =";PQ/5000000

END
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Re: Distanza media in un triangolo isoscele

Messaggio da panurgo » mar giu 11, 2019 8:06 pm

Considerato il triangolo in figura
DMTI.01.01_640x349.png
DMTI.01.01_640x349.png (12.46 KiB) Visto 187 volte
abbiamo $\text{A}\equiv\left(0;0\right)$, $\text{B}\equiv\left(\sin\frac\alpha2;\cos\frac\alpha2\right)$ e $\text{C}\equiv\left(-\sin\frac\alpha2;\cos\frac\alpha2\right)$.

Inoltre abbiamo $\text{P}\equiv\left(p\sin\frac\alpha2;p\cos\frac\alpha2\right)$ e $\text{Q}\equiv\left(-q\sin\frac\alpha2;q\cos\frac\alpha2\right)$ dove $0\leq p=\overline{\text{AP}},\,q=\overline{\text{AQ}}\leq 1$

Dunque sarà $\overline{\text{PQ}}=\sqrt{\left(p\sin\frac\alpha2+q\sin\frac\alpha2\right)^2+\left(p\cos\frac\alpha2-q\cos\frac\alpha2\right)^2}=\sqrt{p^2+q^2-2pq\cos\alpha}$, come si vede con pochi passaggi di facile algebra

Il valore medio, come funzione di $\alpha$, è

$\displaystyle f\left(\alpha\right)=\int_0^1\int_0^1 \sqrt{p^2+q^2-2pq\cos\alpha} \,dp\, dq$

Casi particolari

$\displaystyle f\left(0\right)=\int_0^1\int_0^1 \sqrt{p^2+q^2-2pq} \,dp\, dq = \frac13$

$\displaystyle f\left(\frac\pi2\right)=\int_0^1\int_0^1 \sqrt{p^2+q^2} \,dp\, dq = \frac13\left(\sqrt2 + \sinh^{-1}\right)=0,765\ldots $

$\displaystyle f\left(\pi\right)=\int_0^1\int_0^1 \sqrt{p^2+q^2+2pq} \,dp\, dq = 1$

Integrali fatti per via numerica con wolframalpha: auguri per gli stessi per via analitica :roll:
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Re: Distanza media in un triangolo isoscele

Messaggio da Pasquale » mer giu 12, 2019 2:49 am

Allora Franco, sarò breve.
Ho tirato giù due nuove routine similari nel senso preannunciato, le quali mi danno un risultato più vicino al tuo 0,726 che tende con la quarta cifra ad uno 0,727.
In questo caso, la casualità adottata è più omogea rispetto all'altra routine.
Nella precedente la casualità riguardava anche l'esame degli angoli al vertice, perché le coordinate dei punti P e Q non venivano calcolate, ma erano definite in modo casuale, senza disturbare le funzioni trigonometriche, che pure producono risultati approssimativi.
Comunque, la differenza di un'unità sulla prima cifra appare notevole e non so se aumentando i "punti sparati" potrebbero cambiare i risultati in modo significativamente correttivo.
Ad ogni modo, mi era sembrata una cosa curiosa e divertente, che portando ad un risultato inferiore all'unità, dava un'undicazione sulla giusta direzione.
Queste ultime routine, come dicevo, sono più omogenee nell'impostazione ed assicurano maggiore precisione, limitando la casualità alla sola scelta dei punti P e Q.
La prima individua, per ognuno dei 180 $\alpha$ presi in considerazione fra 1° e 180°, 50.000 punti P ed altrettanti Q, da cui la misura PQ. Dunque, 9.000.000 di PQ, che sommati fra loro e poi divisi per 9.000.000 danno la media così calcolata.
La seconda ripete la stessa operazione su 360 angoli $\alpha$, incrementati di mezzo grado la volta, a partire dal primo di mezzo grado.

In definitiva:
.
,
Trian Iso.JPG
Trian Iso.JPG (8.13 KiB) Visto 181 volte
.
.
LET PQ=0
LET fz=PI/180
RANDOMIZE

FOR m=1 TO 180
LET alfa=fz*m
FOR n=1 TO 50000
LET VQ=INT(RND*100000)/100000
LET x2=VQ*COS(alfa)
LET y2=VQ*SIN(alfa)
LET VP=INT(RND*100000)/100000
LET x1=VP
LET y1=0
LET PQ=PQ+SQR((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)
NEXT n
NEXT m

PRINT "PQ medio =";PQ/9000000

END

Resta evidente che questi “giochini” restano utili solo per una verifica di massima sui risultati ottenuti per altra strada.
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Re: Distanza media in un triangolo isoscele

Messaggio da franco » mer giu 12, 2019 7:49 am

panurgo ha scritto:
mar giu 11, 2019 8:06 pm
Considerato il triangolo in figura...
Eccellente, come al solito :)

Ero arrivato anche io all'integrale doppio risolutivo (anche se, invero, in maniera molto più immediata applicando il teorema del coseno :) ) ma risolverlo analiticamente non è pane per i miei denti.

Sono invece perplesso sulle routine che ho utilizzato per fare le simulazioni numeriche.
Tralasciando tutti gli $\alpha$ intermedi, per 180° ottengo il valore corretto 1, mentre per 0° arrivo a un inopinato 1/4 anzichè al valore 1/3 a cui invece porta la soluzione analitica ...
Forse devo indagare un po meglio sulla funzione $rnd()$ del Visual Basic.
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Re: Distanza media in un triangolo isoscele

Messaggio da Pasquale » mer giu 12, 2019 11:01 pm

Normalmente il comando RND, preceduto dal relativo RANDOMIZE del linguaggio utilizzato (RANDOMIZE, RANDOMIZE TIMER o altro), genera un N tale che:

$0 <= N < 1$
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Re: Distanza media in un triangolo isoscele

Messaggio da panurgo » sab giu 15, 2019 6:16 pm

Dovendo fare simulazioni è più conveniente usare un software specifico: R.

Per il nostro caso specifico il codice è

Codice: Seleziona tutto


f <- function(x,y,z) sqrt(x^2 + y^2 - 2*x*y*cos(z))

p <- runif(1e5)
q <- runif(1e5)

alfa <- (0:180)*pi/180
PQ <- numeric(0)

for (i in (1:length(alfa))) PQ[i] <- mean(f(p,q,alfa[i]))

plot(alfa,PQ,type="l",ylim=c(0,1))

Semplice, no? Il risultato è
DMTI1.png
DMTI1.png (9.49 KiB) Visto 161 volte
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