La formula $DR_{n,2}= n^2$ dice che le disposizioni con ripetizione di n oggetti a 2 a 2 sono in numero di $n^2$, perciò potremmo usarle per occupare le caselle di una tabella nxn. Che cosa sono queste disposizioni con ripetizione? Se gli oggetti sono i numeri da 1 a n (e qui intendo usare n minore di 10, cioè numeri con una sola cifra) esse sono tutte le coppie:

11 12 ... 1n
21 22 ... 2n
...
n1 n2 ... nn

Scritte così, in colonna, offrono una dimostrazione visuale del fatto che sono davvero in numero di $n^2$. Vediamo ora la regola da rispettare nel risolvere i problemi che seguiranno, ovvero Regola: in ogni riga e in ogni colonna devono esserci due 1, due 2, ..., due n
L'esempio qui sotto, con n=5, è il quadrato greco-latino trovato dagli allievi del professor Bo (vedi http://utenti.quipo.it/base5/combinatoria/qualat.htm ), modificato ponendo A=1, B=2, C=3, D=4 e E=5

11 22 33 44 55
32 43 54 15 21
53 14 25 31 42
24 35 41 52 13
45 51 12 23 34


Problema 1. Disporre le disposizioni con ripetizione dei numeri da 1 a 7 in una tabella 7x7 in modo da formare un quadrato greco-latino.


Problema 2. Disporre le disposizioni con ripetizione dei numeri da 1 a 6 in una tabella 6x6.


Problema 3. Le 25 disposizioni nella tabella dell'esempio possono essere trasformate nei numeri da 1 a 25 usando la semplice formula
trasf(xy) = 5*(x - 1) + y
e la tabella "trasformata" diventa allora:

01 07 13 19 25
12 18 24 05 06
23 04 10 11 17
09 15 16 22 03
20 21 02 08 14

La somma di ogni riga della "trasformata" è uguale alla somma di ogni colonna, il numero magico 65; se anche la somma di ognuna delle due diagonali fosse stata 65 avremmo avuto un quadrato magico, così invece è solo semimagico.
Disporre le disposizioni con ripetizione dei numeri da 1 a 5 in una tabella 5x5 la cui "trasformata" sia un quadrato magico.

Problema 3

Sembrava difficile, ma già dall'esempio si poteva ricavare un suggerimento su come procedere:
1) o ambedue le diagonali hanno coppie con le x (e le y) tutte diverse, come la diagonale principale dell'esempio, che ha somma magica 65
2) o ambedue le diagonali hanno coppie con le x (o le y) tutte uguali, come la diagonale inversa dell'esempio, ma in tal caso devono valere 3, il valor medio tra 1 e 5, come ha fatto Pasquale.

Problema 2

64 52 11 65 33 42
32 25 44 15 16 36
55 41 63 23 26 14
43 66 22 31 45 51
61 13 53 24 54 62
12 34 56 46 21 35

Avevo messo i problemi in ordine di difficoltà crescente, ma vedo che vengono risolti al contrario... Davvero non tutti i cervelli ragionano allo stesso modo, quel che è facile per uno magari è difficile per un altro, e viceversa.

Infatti, il primo non l'ho risolto.