Di questo passo...

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Bruno
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Di questo passo...

Messaggio da Bruno » ven gen 18, 2019 3:02 pm

$\large 0, 1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 1234567900, 12345679011, ...$


Qual è la somma dei primi 25 termini?
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
(Biagio Marin)

Pasquale
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Re: Di questo passo...

Messaggio da Pasquale » ven feb 22, 2019 7:31 pm

.........12345679011, 123456790122, 1234567901233, ................. ( a_n = 10*a_{n-1}+n-1 ); per cui direi: 137174211248285322359360

In doppia precisione:

DIM a(1 TO 25)
LET a(1)=0
LET somma=0
FOR m=2 TO 25
LET a(m)=10*a(m-1)+m-1
LET somma=somma+a(m)
NEXT M
FOR m=1 TO 25
PRINT USING "##) ":m;
PRINT a(m)
NEXT M
PRINT
PRINT "somma =";somma
END
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\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

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Re: Di questo passo...

Messaggio da Bruno » sab feb 23, 2019 4:01 pm

Touché :D
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Re: Di questo passo...

Messaggio da Gianfranco » lun feb 25, 2019 2:14 pm

Bravo Pasquale.
Programma breve e chiaro.
Volevo trovare una formula esplicita per la somma, ma sono molto lontano dal risultato.
In compenso, ho trovato sperimentalmente che la SOMMA è un numero ciclico (basta far stampare via via somma(m) dal programma di Pasquale e dimensionare a(500))
La sequenza che si ripete è formata da 81=3^4 cifre ed è:

137174211248285322359396433470507544581618655692729766803840877914951989026063100...

che corrisponde al periodo della frazione:
\large\frac{100}{729}=\frac{100}{3^6}
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Di questo passo...

Messaggio da Bruno » lun feb 25, 2019 3:08 pm

Bravo anche tu, Gianfranco :D

Le cifre, infatti, tendono a ripetersi nelle somme parziali secondo quell'ordine.

Vediamo allora cosa succede se moltiplichiamo ciascun numero della sequenza proposta per 81:

0·81 = 0 = 9 - 9·1,
1·81 = 81 = 99 - 9·2,
12·81 = 972 = 999- 9·3,
123·81 = 9963 = 9999 - 9·4,
1234·81 = 99954 = 99999 - 9·5,
12345·81 = 999945 = 999999 - 9·6,
123456·81 = 9999936 = 9999999 - 9·7, etc.

E intanto possiamo portare a casa una forma chiusa per il generico termine :wink:
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Re: Di questo passo...

Messaggio da Pasquale » mer feb 27, 2019 1:38 am

:shock:
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Re: Di questo passo...

Messaggio da franco » mer feb 27, 2019 8:55 am

Grazie al suggerimento di Bruno mi sembra che questa posa essere una forma chiusa accettabile:
diquestopasso.png
diquestopasso.png (4.08 KiB) Visto 583 volte

edit
L'esponente di 10 nella formula sarebbe dovuto essere $i-1$ e non $n-1$; errore di digitazione :(
Ultima modifica di franco il mer feb 27, 2019 3:17 pm, modificato 1 volta in totale.
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Re: Di questo passo...

Messaggio da Gianfranco » mer feb 27, 2019 9:47 am

Dalla formula di Franco:
somma_franco.PNG
somma_franco.PNG (1.87 KiB) Visto 566 volte
si ricava:

\large a_n=\frac{{{10}^{n}}-9 n-1}{81}

Proseguendo le indagini sulla somma di primi n termini della successione ho trovato questa (per me) incredibile formula chiusa:
sommax.png
sommax.png (14.22 KiB) Visto 580 volte
la quale, semplificata, diventa:

\large S_n=\frac{2\cdot {{10}^{n+1}}-81 {{n}^{2}}-99 n-20}{1458}

Questo programmino DECIMAL-BASIC conferma che funziona:

Codice: Seleziona tutto

somma=0
FOR n=1 TO 100
   LET an=(10^n-1-9*n)/81
   LET somma=somma+an    
   LET sformula=(2*10^(n+1)-81*n^2-99*n-20)/1458
   PRINT somma
   PRINT sformula
   PRINT "---"
NEXT n
END
Un'altra formula approssimata, basata sul numero ciclico è questa:

\large S_n=int \left(\frac{100}{729}\cdot10^{n-1} \right)

Per n che tende a infinito, il rapporto tra il valore esatto e quello approssimato tende a 1.
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Gianfranco

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Re: Di questo passo...

Messaggio da Bruno » mer feb 27, 2019 2:27 pm

Perfetto :D
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Re: Di questo passo...

Messaggio da franco » mer feb 27, 2019 3:26 pm

io avevo ragionato così:

a1 = (9 - 9*1)/81 = 0
a2 = (99 - 9*2)/81 = (9*(10+1)-9*2)/81 = 1
a3 = (999 - 9*3)/81 = (9*(100+10+1)-9*3)/81 = 12
...
a7 = (9999999 - 9*7)/81 = (9*(1000000+100000+10000+1000+100+10+1)-9*7)/81 = 123456

da cui (dividendo per 9 entrambi i termini della frazione) la generalizzazione

ciao

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Re: Di questo passo...

Messaggio da Gianfranco » mer feb 27, 2019 4:23 pm

franco ha scritto:
mer feb 27, 2019 3:26 pm
io avevo ragionato così:
a1 = (9 - 9*1)/81 = 0
...
Concordo, ho eliminato l'osservazione.

@Bruno, ma tu sapevi già tutto e ci hai fatto lavorare così duramente? :D
Pace e bene a tutti.
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Re: Di questo passo...

Messaggio da Bruno » mer feb 27, 2019 4:57 pm

Anch'io ho lavorato duramente, ma un po' prima di voi :D
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