Dato un triangolo scaleno...

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Dato un triangolo scaleno...

Messaggio da Bruno » mer giu 12, 2019 8:55 am

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Re: Dato un triangolo scaleno...

Messaggio da Gianfranco » ven giu 14, 2019 6:51 am

A prima vista, mi sembra un problema da risolvere con un po' di laboriosa trigonometria, tipo:
1. Calcolo gli angoli di ABC
2. Calcolo EC e AD col teorema del coseno
3. Calcolo gli angoli FAE e AEF
4. Calcolo i lati EF e AF
5. Calcolo il raggio della circonferenza inscritta in AEF
Così non mi sono fatto mancare niente, quanto a calcoli.
Ma sicuramente c'è un procedimento più furbo di questo.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Dato un triangolo scaleno...

Messaggio da Bruno » lun giu 17, 2019 1:47 pm

Mi è capitato di trovare questo problema in un gruppo di fb che raccoglie appassionati di giochi matematici.
La proponente è una docente di scuole superiori molto curiosa e mai banale.
Così ho deciso di imbarcarmi nella risoluzione, utilizzando, naturalmente, qualche strumento di routine.
Devo dire che la passeggiata per giungere al risultato esatto non è stata sterile :wink:
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Re: Dato un triangolo scaleno...

Messaggio da Gianfranco » lun giu 17, 2019 9:02 pm

OK Bruno, accettando i tuoi segnali, mi sono imbarcato anch'io nella soluzione del problema senza usare la trigonometria.
L'obiettivo è quello di calcolare l'area e il perimetro di AEF per poi trovare il raggio della circonferenza inscritta.
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Per me, la sorpresa del problema è stata che CBA = 60° (2Area/BC etc.)
Per il resto, gli elementi chiave sono state le tre altezze EJ, AK, FL + Talete + Pitagora.
Alla fine si ottiene:
$\Large r=\frac{2\cdot 27\sqrt{3}}{6 \sqrt{31}+9 \sqrt{13}+21}$
Un'ora di calcoli con radicali vari e applicazione di teoremi di routine. Hai ragione, non è sterile, ma neanche entusiasmante.
Ma forse il tuo procedimento è più intelligente di quello che ho proposto qui. Alla fine mi si incrociano gli occhi e non sono neppure sicuro che il risultato sia giusto!
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Dato un triangolo scaleno...

Messaggio da Bruno » mar giu 18, 2019 8:25 am

Perfetto, Gianfranco, bravo :D

Spero che i tuoi occhi si siano raddrizzati, nel frattempo :mrgreen:

Non ho nulla di meglio - né tantomeno di più intelligente - da aggiungere alla tua risoluzione. Quell'angolo di 60° ha colpito anche me.

Per quanto mi riguarda, tendo a entusiasmarmi facilmente e l'entusiasmo sprona la mia concentrazione, un aspetto della condizione umana piuttosto altalenante.

C'è un bellissimo pensiero di Gandhi che mi accompagna da tempo: «Non importa quanto insignificante possa essere la cosa che dovete fare, fatela meglio che potete, prestatele tutta l’attenzione che prestereste alla cosa che considerate più importante» (da Selections from Gandhi di Nirmal Kumar Bose, 645, "Thoroughness").

Non mi è difficile, così, divertirmi, anche con qualche carabattola :D
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