Dadi

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
vittorio
Livello 3
Livello 3
Messaggi: 63
Iscritto il: lun ago 20, 2007 8:29 am
Località: Ravenna

Dadi

Messaggio da vittorio » lun set 10, 2007 9:45 am

Salve.
Vorrei proporre questo problemino:

Due amici A e B giocano ai dadi.
Entrambi mettono un euro sul tavolo.
A lancia un dado.
B lancia tre dadi e successivamente scarta il dado col punteggio maggiore e quello col punteggio minore trattenendo il terzo. (esempio coi punteggi 1, 2 e 3 il punteggio di B è 2, coi dadi 3, 5 e 5 il punteggio è 5, ecc.)
Vince, e incassa i due euro il giocatore col punteggio maggiore.
In caso di parità ognuno si riprende il suo euro.

Ad un certo punto A dice a B: "il gioco non mi sembra equo perché tu lanciando tre dadi hai più possibilità di ottenere un punteggio più alto. Ti propongo di darmi la vittoria anche nel caso di parità di punteggi".

Conviene a B accettare accettare questa proposta?
Vittorio

franco
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 977
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Messaggio da franco » lun set 10, 2007 10:06 am

Immagino che la domanda sia da intendersi come:

B continua ad essere avvantaggiato anche con il metodo proposto da A?

(Secondo me, senza aver fatto alcun conto, non può mai risultare conveniente trasformare un pareggio in una sconfitta)

ciao
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1387
Iscritto il: mer mag 25, 2005 3:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 » lun set 10, 2007 1:41 pm

a me sembra che il gioco sia equo alle condizioni di partenza.

prima di fare i conti, ho pensato a che cosa cambierebbe se si cambiasse lo spirito della scommessa, facendo vincere il punteggio più basso.
il gioco è simmetrico.

Facendo i conti, un po' in fretta, mi viene che A vince/perde/pareggia con
1; 200/000/ 16
2; 160/ 16/ 40
3; 108/ 56/ 52
4; 56/108/ 52
5; 16/160/ 40
6; 000/200/ 16
Enrico

Admin
Amministratore del sito
Amministratore del sito
Messaggi: 784
Iscritto il: mer apr 20, 2005 2:47 pm
Località: Benevento

Messaggio da Admin » lun set 10, 2007 7:40 pm

I punteggi che può ottenere il giocatore A, lanciando un dado, sono tutti equiprobabili: p\{X\}=\frac 1 2;
I punteggi che può ottenere il giocatore B non lo sono;
la probabilità di ottenere un punteggio k per il giocatore B è pari a:
pr\{Y=k\}\/=\/\\
pr\{D1=k\/\cap\/D2k\}\/\cup\/pr\{D1=k\/\cap\/D2>k\/\cap\/D3k\}\/\cup\/pr\{D1>k\/\cap\/D2=k\/\cap\/D3k\/\cap\/D3=k\}\/\cup\/pr\{D1>k\/\cap\/D2<k\/\cap\/D3=k\}\/\cup\/\\
pr\{D1=k\/\cap\/D2=k\/\cap\/D3\ne k\}\/\cup\/pr\{D1\ne k\/\cap\/D2=k\/\cap\/D3=k\}\/\cup\/pr\{D1=k\/\cap\/D2\ne k\/\cap\/D3=k\}\/\cup\/\\
pr\{D1=k\/\cap\/D2=k\/\cap\/D3=k\}

dove D1, D2 e D3 sono i punteggi dei 3 dadi.

Sostituendo i numeri si ottiene:

pr\{Y=1\}\/=\/0\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac56\/\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/=\/\frac{2}{27}\vspace{30}
pr\{Y=2\}\/=\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac46\/\cdot2\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac56\/\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/=\/\frac{5}{27}\vspace{30}
pr\{Y=3\}\/=\/\frac16\/\cdot\/\frac26\/\cdot\/\frac36\/\cdot2\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac56\/\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/=\/\frac{13}{54}\vspace{30}
pr\{Y=4\}\/=\/\frac16\/\cdot\/\frac26\/\cdot\/\frac36\/\cdot2\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac56\/\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/=\/\frac{13}{54}\vspace{30}
pr\{Y=5\}\/=\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac46\/\cdot2\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac56\/\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/=\/\frac{5}{27}\vspace{30}
pr\{Y=6\}\/=\/0\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac56\/\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/=\/\frac{2}{27}\vspace{30}

Ossia il giocatore ottiene i punteggi 1, 2, 3, 4, 5 e 6, rispettivamente con probabilità \frac{2}{27}, \frac{5}{27}, \frac{13}{54}, \frac{13}{54}, \frac{5}{27} e \frac{2}{27}.

Ora si nota che il valore atteso per i punteggi dei due giocatori (più precisamente il valore atteso delle variabili aleatorie X e Y che modellano il lancio di dadi per i due giocatori) è lo stesso, ossia:

A: \langle X\rangle\/=\/(1+2+3+4+5+6)\/\cdot\/\frac16\/=\/\frac72\/=\/3,5\vspace{30}
B: \langle X\rangle\/=\/1\cdot\/\frac{2}{27}\/+\/2\cdot\/\frac{5}{27}\/+\/3\cdot\/\frac{13}{54}\/+\/4\cdot\/\frac{13}{54}\/+\/5\cdot\/\frac{5}{27}\/+\/6\cdot\/\frac{2}{27}\/=\/\frac{7}{2}\/=\/3,5

Quindi la probabilità di vincere per i due giocatori, nelle condizioni iniziali, è la stessa (non ne sono del tutto sicuro).
Per cui se B accetta la proposta di A, riduce le sue possibilità di vincita al di sotto del 50%; per cui non gli conviene accettare.

SE&O
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net

panurgo
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1177
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Messaggio da panurgo » lun set 10, 2007 8:00 pm

p \left ( A \/ > \/ B \/ \middle| \/ I \right) \/ = \/ p \left ( A \/ < \/ B \/ \middle| \/ I \right) \/ = \/ \frac 5 {12} \\ p \left ( A \/ = \/ B \/ \middle| \/ I \right) \/ = \/ \frac 16
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1387
Iscritto il: mer mag 25, 2005 3:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 » lun set 10, 2007 8:15 pm

che il valore medio atteso sia lo stesso per A e per B è vero, come dice pietro; ma non basta per dire che la probabilità di avere il punteggio maggiore è la stessa.
bisogna confrontare ogni possibile risultato di A con la gamma dei possibili risultati di B.
E' dall'incrocio del valore medio e della distribuzione dei risultati che si giunge a dire, correttamente, che il gioco è equo nella versione iniziale.

Non c'entra moltissimo, ma da qualche parte devo aver già proposto alcune considerazioni sulle probabilità di vittoria giocando con meccanismi casuali tipo "ruota della fortuna".
Immaginiamo due congegni
A genera sempre 4
B genera nei 2/3 dei casi 3 e in 1/3 dei casi 6
la media è sempre 4, ma giocando uno contro l'altro, A vince nel 67% delle partite
Se poi ci divertiamo a modificare i valori, possiamo portare B a dare 3,9 nel 51% e 100 nel 49%, con una media di quasi 13 volte più alta del 4 di A, che perà alla lunga vince !
Ultima modifica di delfo52 il mar set 11, 2007 1:41 pm, modificato 1 volta in totale.
Enrico

infinito
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 334
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:02 pm

Messaggio da infinito » lun set 10, 2007 11:51 pm

delfo52 - Lunedì 10 Settembre 2007 - 14:41 ha scritto:
a me sembra che il gioco sia equo alle condizioni di partenza.

prima di fare i conti, ho pensato a che cosa cambierebbe se si cambiasse lo spirito della scommessa, facendo vincere il punteggio più basso.
il gioco è simmetrico.
Concordo pienamente, anche se non mi pare così ovvio che "facendo vincere il punteggio più basso" si vede che il gioco è simmetrico.

Io avevo pensato di "rovesciare la scala" (cioè di scambiare i valori 6 e 1, 5 e 2, 4 e 3), ottenendo, in pratica, lo stesso identico gioco, ma dove "vince il punteggio più basso".

E così mi pare ovvio che la probabilità di perdere è uguale a quella di vincere (anche se è minore di 0,5), cioè (viste le giocate) che il gioco sia equo.
Gaspero

vulneraria
Livello 2
Livello 2
Messaggi: 43
Iscritto il: mar lug 11, 2006 3:01 pm

Messaggio da vulneraria » gio set 13, 2007 12:41 pm

si il gioco in partenza e' equo anche per me...

l'ho pensato con un dado da 3 contro n dadi da 3.

se devo scegliere il valore centrale piu' sono i dadi piu' e' probabile che il risultato sia 2. mentre agli estremi avro' 1 e 3 in egual misura.

estremizzando avrei un dado da 3 contro un 2 fisso.

Rispondi