Coseno di 20°

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Luciano
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Coseno di 20°

Messaggio da Luciano » gio mag 26, 2005 5:35 pm

Ciao a tutti. :D
Questo nuovo Forum è stupendo e, dunque, invita a provarlo subito.
Ho preferito registrarmi col mio nome di battesimo, pur mantenendo l'altro con cui partecipavo al vecchio Forum.
Contrariamente a quel ch'è capitato a Gaspero, avevo due indirizzi email e l'ho potuto fare.
L'altro nome era un semplice anagramma di questo, come ben aveva intuito Peppe, che mi aveva gratificato di altri graziosi esempi (il più riuscito dei quali mi era sembrato UN LAICO).

Vorrei quindi inaugurare il Forum sottoponendovi un problema a cui sinceramente non ho saputo dare una risposta, sperando che ci riusciamo insieme.

Com'è noto,

cos{30}=\frac{\sqr{3}}{2}

(con l'angolo espresso in gradi) e probabilmente molti ricorderanno pure che

cos{15}=\frac{1}{2}\sqr{2+\sqr3}

Di formule del genere se ne possono trovare molte altre e i manuali di trigonometria ne riportano parecchie.
Ma non ho mai trovato in nessun libro una formula analoga per cos{20} e, nonostante abbia fatto qualche tentativo, non l'ho saputa ricavare neanch'io.
E' possibile che qualcuno mi dica una parola risolutiva in merito?

Ciao a tutti e buon divertimento col delizioso giocattolo che Gianfranco e Pietro, a cui va il mio più riconoscente GRAZIE!!!, ci hanno voluto donare.

Luciano

Tino
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Messaggio da Tino » ven mag 27, 2005 8:22 am

L'unica cosa che sono riuscito a ricavare è che il cos(\frac{\pi}{9}) corrisponde all'unica soluzione reale dell'equazione:

8x^{3}-6x-1=0

Il che non mi aiuta molto... però ho sentito dire che esistono delle formule (di Cardano?) per trovare le radici dei polinomi di terzo grado...

Mah...

Ciao
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Messaggio da Tino » ven mag 27, 2005 8:41 am

Si in effetti dopo una ricerca su internet ho trovato la famosa formula di Cardano, ma ancora non ci siamo perché mi trovo a dover calcolare parte reale e parte immaginaria di

(\frac{1}{16})^{\frac{1}{3}}((\sqr{3}i-1)^{\frac{1}{3}}-(-\sqr{3}i-1)^{\frac{1}{3}})

Cioè, mi rifiuto di fare i conti con una mostruosità del genere :)

Ciao
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Luciano
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Messaggio da Luciano » ven mag 27, 2005 3:26 pm

Ma il problema è proprio questo: esiste un'espressione che non faccia uso di numeri immaginari?

Ciao.

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Messaggio da peppe » ven mag 27, 2005 7:12 pm

Mi inserisco per salutare ALCUINO ecco dove ti eri cacciato...),e per chiedere a Tino come fa a scrivere queste formule mostruose!
Ho provato a leggere il codice passando col mouse sulla formula,ma quella benedetta finestrella scompare subito :(
Non esiste un modo per copiare il codice che appare in maniera così fugace?
Se avete in mente qualche :idea: fatemelo sapere.

Ho accolto l'invito di Pietro :
[...]Importante: Tutorial sulla scrittura di equazioni (Leggetelo!!!)[...]

Non solo ho letto,ma ho copiato e incollato in un file word le varie istruzioni per poi stamparle senza altri fronzoli.
Stranamente l'unico argomento che Word non accetta e il capitolo
- 3.2 Derivate
appare la scritta "memoria insufficiente" e non riesco a salvare il file.Per aggirare l'ostacolo ho dovuto tagliarlo escludendo dal file l'argomento derivate.
Ora,(cosa mi tocca fare!) studierò le varie formule dopo averle stampate.

Saluto anche TINO e il resto della compagnia.
Ciao!

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Messaggio da Admin » ven mag 27, 2005 7:55 pm

Bene;
dopo svariati calcoli sono arrivato ad un'equazione la cui soluzione mi dovrebbe dare
cos 4, da cui poi sarebbe facile ricavare cos 20; solo che l'equazione è di 10° grado!
se sapete manipolare equazioni di grado elevato bene; perchè io in genere uso Ruffini , ma col 10° grado non c'è nessun Ruffini che tenga!

Se vi interessa la posto l'equazione.
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Messaggio da Tino » ven mag 27, 2005 8:23 pm

Di decimo grado va bene, con la condizione che si possa risolvere con metodi ragionevoli (= abbia molte soluzioni intere, o al più razionali), perché se non è così tanto vale cimentarsi nell'equazione di terzo grado che ho proposto io...

:P

Comunque riguardo a come si usa Tex, io ho scritto quello che ho scritto solo leggendo il tutorial di Pietro Vitelli.

Ps. Luciano, ero venuto a conoscenza del fatto che il nome che usavi nel forum vecchio era un anagramma del tuo nome di battesimo, ma non avevo capito che si trattava di Alcuino! Che testa...

Bon, ciao ciao :!:
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Messaggio da Admin » ven mag 27, 2005 10:31 pm

Bene,
ecco l'equazione in cui mi sono imbattuto:

per comodità pongo cos 4 = x.

sen^215\cdot x^2\cdot(1-x^2)=(16x^5-20x^3+cos15\cdot x^2+(5-cos15cos9+sen15sen9)\cdot x-cos15)^2

dove cos15,sen15,cos9,sen9 sono seni e coseni notevoli, già noti.

Ve l'ho detto che era impraticabile!
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Messaggio da peppe » sab mag 28, 2005 11:57 am

Dopo il suggerimento di Pietro,ho trovato una scorciatoia,e sono riuscito a copiare i codici dei radicali impossibili di Luciano.
Ho fatto così:
1)seleziono l'equazione
2)clic col tasto Destro
3)clic su "proprieta" del menù a tendina
4)si apre la cartella "generale".In alto basta copiare tutto ciò che appare dopo la scritta: "mimetex.cgi?",e incollarlo in un file txt con bloc notes.
Esempio con il "coseno di 20°" di Luciano:
Nella cartella generale aperta nel modo sopra indicato,appare la scritta:

mimetex.cgi?cos{30}=\frac{\sqr{3}}{2}

Il codice della formula (che dovrà essere racchiuso fra i tag ... ) è:

cos{30}=\frac{\sqr{3}}{2}

ossia tutto ciò che segue (mimetex.cgi?)
++++++++++++++
Ecco i codici dei radicali,che scrivo senza i tag per evitare di riscrivere le formule.
1)

x = \sqr{\frac{1}{2^1}-\sqr{\frac{1}{2^3}-\sqr{\frac{1}{2

^7}-...-\sqr{\frac{1}{2^{2^n-1}}-...}
+++++
2)

x=\sqr{\frac{1}{10^{1}}-\sqr{\frac{1}{10^{11}}-\sqr{\frac{1}{10^{111}}-\sqr{\frac{1}{10^{1111}}-...}}
++++
3)

x=\sqr{\frac{1}{10}}\sqr{1-x}
+++
4)

x=\sqr[3]{1+3\cdot\sqr[3]{1+3\cdot\sqr[3]{1+3\cdot\sqr[3]{1+...}}
+++
E ora una prova con i tag,per vedere se funziona.Speriamo bene...

(\frac{1}{16})^{\frac{1}{3}}((\sqr{3}i-1)^{\frac{1}{3}}-(-\sqr{3}i-1)^{\frac{1}{3}})
++++
Ora mi resta da scoprire il significato dei simboli :
"Quote","Code";"List";"List=""Img" posti sotto la finestra "Oggetto".

E ora faccio una prova con le formule contenute nel "promemoria delle formule".

\displaystyle\int_{-3}^{3}

WW..."Aquila della notte!! "

Ciao.
Ultima modifica di peppe il sab dic 17, 2005 4:08 pm, modificato 1 volta in totale.

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Messaggio da Admin » sab mag 28, 2005 1:50 pm

Dunque, rivedendo i calcoli che mi avevano portato alla mostrusa equazione di 10° grado, ho semplificato alquanto le cose e sono giunto alla semplice equazione di 3° grado (se arriviamo a qualcosa, posto i calcoli):

x^3-x=\frac{\sqr3}{6}

dove x=cos10

Ora, il già menzionato metodo risolutivo di Tartaglia/Cardano ci dice che, data una generica equazione di terzo grado, nella forma:

x^3+px=q

la soluzione (non ho capito se ne è solo una, o sono tutte racchiuse in essa) ci è data da:

x=\Large\sqr[3]{\sqr{(\frac{p}{3})^3+(\frac{q}{2})^2}+\frac{q}{2}}-\sqr[3]{\sqr{(\frac{p}{3})^3+(\frac{q}{2})^2}-\frac{q}{2}}

Sembrerebbe fatta, ma sostituendo a p e q i nostri valori, e cioè:

p=-1 , q=\frac{\sqr3}{6}

si ottiene la seguente espressione:

x=\Large\sqr[3]{\frac{\sqr{\frac{-7}{3}}+\sqr6}{12}}-\sqr[3]{\frac{\sqr{\frac{-7}{3}}-\sqr6}{12}}

con numeri immaginari; non so se si possa semplificare;
è certo però che i numeri immaginari devono poter scomparire, dato che cos10 è un numero reale.

Mah!
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Messaggio da Venom88 » mar gen 15, 2008 3:30 am

beh io sono arrivato alla conclusione che il

cos20° = \frac{1 - x^3}{6x^2}

con x intendo il sin20°, ed ho trovato che

\frac{x^9 - 2 x^6 + 3x^3 - 1}{108x^6} - 6x^3 = \sqr{3} - 6

forse sarà possibile risolverla ma non c'ho voluto provare...oltre a questo risultato potrei dare solo una approssimazione usando lo sviluppo di McLaurin

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Messaggio da mathmum » mar gen 15, 2008 9:41 am

... soluzione senza optional, cioè modello base:

Anche io avevo pensato ad approssimare in serie di Taylor (e qui si decide quando ci si può accontentare, fermandosi nello sviluppo), oppure a un bel disegnino di triangolo rettangolo con un angolo di 20°, vado a misurare con il righello nuovo il cateto adiacente all'angolo e l'ipotenusa, faccio il rapporto delle misure....

ciao
mathmum

...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...

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Messaggio da Br1 » mar gen 15, 2008 10:01 am

Forse per la scrittura in TeX non completata o per la
mia scarsa lucidità mattutina, di fatto non mi ritrovo
con le espressioni di Venom88 :roll:

Comunque ho scoperto che questo topic ha un fratellino
"concepito" dal nostro Peppe :D

Volo!
Bruno

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Messaggio da Venom88 » mar gen 15, 2008 4:46 pm

scusate ho fatto un errore quelle equazioni sono per il seno e il coseno di 10...comunque ho usato le matrici 2x2 associate alla rotazione dello piano.

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Messaggio da peppe » mar gen 15, 2008 5:11 pm

...questo topic ha un fratellino...
Bruno,Bruno...quasi quasi ti tolgo una "r" e ti regalo una "O" perché sei troppo BuOno con il tuo amico peppe. :lol:
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

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