Corda arrotolata

lugligino · Messaggio da **lugligino** » gio giu 05, 2014 2:08 pm

Piccolo problema pratico:
una corda spessa d e lunga l (con l>>d) viene arrotolata strettamente a spirale (senza spazi vuoti).
Quanto è larga la spirale?

Ciao

delfo52 · Messaggio da **delfo52** » ven giu 06, 2014 12:11 pm

trascurando le deformazioni dovute all'arrotolamento, la superficie (in pianta) della spirale , che viene ad assomigliare ad uno di quei poggiapentola di paglia, coincide con d*l.
ma la superficie di un cerchio è pigreco* r^2
quindi...
(d*l)/pigreco vale quanto r^2
quindi...

Gianfranco · Messaggio da **Gianfranco** » sab giu 14, 2014 11:23 am

Ciao Delfo e Lugligino,
questo problema torna ogni tanto e prima o poi gli dedicherò una pagina.
Per ora propongo telegraficamente una soluzione pratica.
Farò riferimento alle formule sulla classica spirale di Archimede. (vedi http://utenti.quipo.it/base5/geopiana/spirarchi.htm)
a) Il metodo proposto da Enrico è semplice, efficace e permette di calcolare facilmente quanto richiesto con una buona approssimazione.
b) Se vogliamo essere più precisi dovremmo usare la formula:

$\Large l=\frac{a\,\left( \mathrm{ln}\left( \sqrt{{\theta}^{2}+1}+\theta\right) +\theta\,\sqrt{{\theta}^{2}+1}\right) }{2}$

che mette in relazione:
l = lunghezza della spirale
theta ($\Large \theta$) = angolo di rotazione
a = parametro dell'equazione polare $\Large r=a \cdot \theta$

Da questa formula, che a sua volta deriva da un calcolo integrale, dovremmo ricavare $\Large \theta$ costruendo la formula inversa.
Conoscendo $\Large \theta$, che esprime il numero dei giri in radianti, e il passo, potremmo finalmente ricavare il raggio r della spirale.

Costruire la formula inversa è una vera rogna, perciò, se serve soltanto un risultato pratico si può costruire un foglio elettronico o un programmino che calcoli $\Large \theta$ con l'approssimazione desidearata usando la formula diretta.

Per dare l'idea, ho costruito un programmino in DECIMAL BASIC che calcola il raggio della spirale usando sia il metodo di Delfo sia la formula della lunghezza.

Lo riporto qui sotto con alcuni esempi di risultati ottenuti.

Codice: Seleziona tutto

!'Spessore della corda = passo della spirale
LET d=2
!'Lunghezza della corda = lunghezza della spirale
LET l=120

!'Primo metodo - area
LET areas=l*d
LET raggio=SQR(areas/3.14)

!'Secondo metodo - calcolo approssimato di theta

!'Valore di a nell'equazione polare r=a*theta, conoscendo il passo
LET a=d/6.28

!'Ciclo per calcolare theta conoscendo a e la lunghezza della spirale
!'theta è espresso in radianti
!'Il valore 90 è una stima per grande eccesso e lo step esprime la precisione desiderata 
FOR theta = 1 TO 90 STEP 0.001

   LET l1=1/2*a*(theta*SQR(1+theta^2)+LOG(theta+SQR(1+theta^2)))
    
   IF ABS(l1-l)<0.01 THEN
      PRINT "---"
      PRINT l1;theta
      PRINT "---"
      EXIT FOR
   END IF
NEXT theta

PRINT "Spessore (diametro) della corda:";d
PRINT "Lunghezza della corda:";l
PRINT "Primo metodo: raggio =";raggio
PRINT "Secondo metodo: raggio =";(theta/6.28)*d
END

---
29.9906242363358 19.301
---
Spessore (diametro) della corda: 1
Lunghezza della corda: 30
Primo metodo: raggio = 3.09097721236966
Secondo metodo: raggio = 3.0734076433121

---
77.9945875929283 13.86
---
Spessore (diametro) della corda: 5
Lunghezza della corda: 78
Primo metodo: raggio = 11.1446768304896
Secondo metodo: raggio = 11.0350318471338

---
99.9950279946765 35.372
---
Spessore (diametro) della corda: 1
Lunghezza della corda: 100
Primo metodo: raggio = 5.643326479831
Secondo metodo: raggio = 5.63248407643312

Se vogliamo essere ancora più precisi, dovremmo studiare le proprietà fisiche della corda e la tecnica con cui viene arrotolata a spirale.

Corda arrotolata

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