Convergenza di serie?

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Convergenza di serie?

Messaggio da Pasquale »

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n-2}{n^3+3n^2+2n}=?$
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Ospite

Messaggio da Ospite »

La somma è 1.

panurgo
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1521
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Messaggio da panurgo »

Ospite ha scritto:La somma è 1.
Aspetto con trepidazione un'esauriente spiegazione :)
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 2020
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Messaggio da Bruno »

...

Forse Ospite intendeva questo.

Innanzitutto, vediamo che la frazione indicata può essere scritta come segue:

$\displaystyle \frac{3n-2}{n^3+3n^2+2n} = \frac{3n-2}{n(n+1)(n+2)} \,.$

Considerando n intero e positivo, diciamo che la somma delle frazioni:

$\displaystyle \frac{1}{6} , \, \frac{4}{24} , \, \frac{7}{60} , \, \frac{10}{120} , \, \frac{13}{210} , \, \cdots \, \frac{3n-2}{n(n+1)(n+2)}$

è uguale al rapporto:

$\displaystyle \frac {n^2}{(n+1)(n+2)} \,,$

e lo verifichiamo per induzione.
Infatti, vediamo dapprima che:

$\displaystyle \frac{1}{6} = \frac{1^2}{(1+1)(1+2)} \\ \frac{1}{6}+\frac{4}{24} = \frac{1}{3}= \frac{2^2}{(2+1)(2+2)} \\ \frac{1}{3}+\frac{7}{60} = \frac{9}{20} = \frac{3^2}{(3+1)(3+2)} \, .$

Quindi, supponiamo che fino al numero intero e positivo r sia vera l'uguaglianza:

$\displaystyle 1) \, \sum_{i=1}^{r} \frac{3i-2}{i(i+1)(i+2)} = \frac{r^2}{(r+1)(r+2)} \,.$

Aggiungendo a entrambi i membri della (1) la frazione successiva:

$\displaystyle \frac {3(r+1)-2}{(r+1)[(r+1)+1][(r+1)+2)]}$,

si ottiene:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{r+1} \frac{3i-2}{i(i+1)(i+2)} = \frac{r^2}{(r+1)(r+2)}+\frac {3(r+1)-2}{(r+1)[(r+1)+1][(r+1)+2)]}$

ma, come si verifica facilmente:

$\displaystyle \frac{r^2}{(r+1)(r+2)}+\frac {3(r+1)-2}{(r+1)[(r+1)+1][(r+1)+2)]} = \frac{(r+1)^2}{[(r+1)+1][(r+1)+2]}$

e perciò:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{r+1} \frac{3i-2}{i(i+1)(i+2)} = \frac{(r+1)^2}{[(r+1)+1][(r+1)+2]} \, .$

La relazione (1), dunque, valendo per il numero r, vale anche per r+1.

Riprendiamo allora il nostro n (che abbiamo assunto intero e positivo), poiché:

$\displaystyle \frac{n^2}{(n+1)(n+2)} = \displaystyle \frac{1}{(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})} \, ,$

per $\displaystyle n \to \infty$ la somma in questione tende effettivamente a $\displaystyle 1$.

Se invece Ospite avesse avuto in mente qualcos'altro... prego ;)

_____
Bruno

Ospite

Messaggio da Ospite »

Bravo bruno. Interessante la tua soluzione.
La mia soluzione è più diretta.
Scomponendo il termine generale della serie in frazioni semplici si ottiene:
$\displaystyle \frac{5}{n+1}-\frac{1}{n}-\frac{4}{n+2}\$
La somma perciò diventa:
$\displaystyle 5\sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n+1}}-\sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n}}-4\sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n+2}}$
Modificando gli estremi delle sommatorie possiamo scrivere:
$\displaystyle 5\sum_{2}^{\infty}{\frac{1}{n}}-\sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n}}-4\sum_{3}^{\infty}{\frac{1}{n}}$
Rendendo uguali gli estremi inferiori delle tre serie si ha:
$\displaystyle (5){\frac{1}{2}}+5\sum_{3}^{\infty}{\frac{1}{n}}-(1+\frac{1}{2})-5\sum_{3}^{\infty}{\frac{1}{n}}$
Eliminando le serie a termini opposti si trova infine:
$\displaystyle \frac{5}{2}-1-\frac{1}{2}=1$

"Prova di LaTeX".

0-§
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 454
Iscritto il: ven nov 18, 2005 10:33 pm
Località: Bologna

Messaggio da 0-§ »

Molto interessante(e bella) la soluzione di Bruno.Ma mi é sorto un dubbio:a quella formula,
$\displaystyle \sum _{i=1}^{n} \frac {3i-2}{(i(i+1)(i+2)}=\frac {n^2}{(n+1)(n+2)}$,come ci sei arrivato?
Cioé ho capito che é vera e perché é vera,ma mi piacerebbe sapere quali ragionamenti ti hanno fatto arrivare alla formula suddetta.Sarebbe utile e dilettevole,senza considerare che senza la spiegazione che ti chiedo la tua dimostrazione suona un po' "incompleta",con una formula che piove dal nulla.Se ti ricordi la serie di passaggi mentali che l'ha prodotta,potresti scrivermi?
Scusa se rompo ma una così gradevole formula mi spinge a chiederti di più.
Grazie in anrticipo.
Ciao!
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 2020
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Messaggio da Bruno »

...

Per 0-§:

Purtroppo devo risponderti da un pc pubblico e quindi non riesco a spiegarti
i passaggi esatti (anche se pochi) che mi hanno condotto a ipotizzare - inizialmente -
la formula della somma finita, che poi ho dimostrato per induzione. In un certo senso,
però, ho "smosso le zolle con la vanga"... e cioè ho semplicemente sommato le
prime frazioni fino a un certo punto e mi sono accorto che ogni tanto mi appariva
al numeratore un quadrato e che, quando accadeva questo, il denominatore era
il prodotto di due numeri consecutivi. Poi ho visto che anche le altre frazioni-somma
potevano essere tradotte in questa forma, così...
Tu non rompi, anzi!


Per Ospite:

Bravo a te, piuttosto!
Bella, la tua idea, e anche svelta (almeno dopo aver indovinato le tre frazioni).


Ciao!


;) Bruno

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Messaggio da Pasquale »

Complimenti a tutti....siete dei maestri.
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Rispondi