Congettura strana sui numeri primi: p_0=2*p_1+p_2

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marcokrt
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Congettura strana sui numeri primi: p_0=2*p_1+p_2

Messaggio da marcokrt » lun lug 29, 2013 12:23 am

Mi sono appena imbattuto in una "strana" congettura sui numeri primi che non conoscevo. Non ho idea se si tratti di una versione "depotenziata" di qualcosa di già provato. Ho fatto qualche test e direi che per valori ragionevolmente piccoli (primi inferiori a $10^4$) parrebbe filare tutto liscio.
Ecco a voi il problema da dimostrare/confutare:
E' vero che tutti primi $p_0≥7$ possono essere espressi nella forma $2*p_1+p_2$, con $p_1$ e $p_2$ numeri primi (distinti)?
Chiaramente, fissato $p_0$, ci possono essere più combinazioni che verificano la congettura di cui sopra (esempio $p_0:=41=2*2+37=2*5+31=2*11+19=2*17+7=2*19+3$), ma sarà vero in generale?


Ho provato ad usare il Teorema di Chen per verificare l'asserto, ma ho solo ricavato dei corollari che vincolano reciprocamente $p_1$ e $p_2$.

:)

marcokrt
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Re: Congettura strana sui numeri primi: p_0=2*p_1+p_2

Messaggio da marcokrt » lun lug 29, 2013 6:26 pm

Congettura empiricamente verificata per tutti i valori $p_0 < 700$ milioni...

modulocomplicato
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Re: Congettura strana sui numeri primi: p_0=2*p_1+p_2

Messaggio da modulocomplicato » mar lug 30, 2013 7:18 am

...a naso: dato che con i soli primi puoi ottenere qualsiasi intero, la congettura è verificata sempre in quanto:

- si possono usare tutti i primi, nessuno escluso, quindi si possono utilizzare tutte le combinazioni possibili (di primi), quindi hai una griglia "*beep*" quanto serve, completa, ordinata e "continua".

- si devono calcolare solo alcuni primi p>7 il che garantisce che la funzione non dia errori per primi piccoli

E' come essere in un piano castesiano e chiedersi se la retta z=2x+y ha sempre valori di z interi con x e y interi.

Se esistesse un primo che non è descrivibile utilizzandone altri due (avendoli a disposizione tutti) significherebbe che con i soli primi non è possibile descrivere tutti gli interi, cioè ci sarebbe un "buco", cosa falsa per le definizioni di intero (somma di primi e/o loro potenze).

Gianfranco
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Re: Congettura strana sui numeri primi: p_0=2*p_1+p_2

Messaggio da Gianfranco » mar lug 30, 2013 8:29 am

2p_1=p_2-p_0

In questa pagina: http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/PRIM-SUM.TXT

MORE SMARANDACHE CONJECTURES ON PRIMES' SUMMATION
(GENERALIZATIONS OF GOLDBACH AND POLIGNAC CONJECTURES)
edited by M. L. Perez

ho trovato, tra l'altro, questa congettura
&2. EVEN NUMBERS.

A) Any even integer n can be expressed as a combination
of two primes as follows:

1) n = p - q, where p, q are both primes [k=2, s=1].
For example: 2 = 7 - 5 = 13 - 11 = ... ;
4 = 11 - 7 = ... ;
6 = 13 - 7 = ... ;
8 = 13 - 5 = ... .
a) Is it equivalent with Goldbach conjecture that every even number
greater than 4 is the sum of two odd primes?
b) In how many ways can each even integer be expressed as above?
Non è proprio la stessa cosa, ma potrebbe essere utile?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Congettura strana sui numeri primi: p_0=2*p_1+p_2

Messaggio da marcokrt » mar lug 30, 2013 3:23 pm

Vi aggiorno... credo di aver dimostrato il risultato per conto mio... magari ho sbagiato qualcosa (sempre possibile).

La dimostrazione (abbozzata in inglese) è lunghetta e l'ho postata su Facebook in un gruppo chiuso. La voglio sistemare un po' meglio, poi la condividerò qui :)

Adesso leggo tutto ciò che mi avete linkato. Vi ringrazio.

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Re: Congettura strana sui numeri primi: p_0=2*p_1+p_2

Messaggio da marcokrt » mar lug 30, 2013 3:32 pm

Gianfranco ha scritto:2p_1=p_2-p_0

In questa pagina: http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/PRIM-SUM.TXT

MORE SMARANDACHE CONJECTURES ON PRIMES' SUMMATION
(GENERALIZATIONS OF GOLDBACH AND POLIGNAC CONJECTURES)
edited by M. L. Perez

ho trovato, tra l'altro, questa congettura
&2. EVEN NUMBERS.

A) Any even integer n can be expressed as a combination
of two primes as follows:

1) n = p - q, where p, q are both primes [k=2, s=1].
For example: 2 = 7 - 5 = 13 - 11 = ... ;
4 = 11 - 7 = ... ;
6 = 13 - 7 = ... ;
8 = 13 - 5 = ... .
a) Is it equivalent with Goldbach conjecture that every even number
greater than 4 is the sum of two odd primes?
b) In how many ways can each even integer be expressed as above?
Non è proprio la stessa cosa, ma potrebbe essere utile?

Beh... la cosa mi inquieta non poco. Ciò significa che questi non hanno la minima idea di cosa parlano... hanno riscritto la congettura di Polignac senza saperlo! :lol:

L'unica differenza è che qui non si richiede un numero illimitato di combinazioni per ogni fissato valore di "k" (o "n", come lo chiamano qui loro). E' automatico che se è vera la congettura di Polignac è vera anche questa.

La congettura è stata dimostrata vera da Chen Jingrun (http://en.wikipedia.org/wiki/Chen%27s_theorem) 40 anni fa (per valori sufficientemente grandi), ammettendo però che il secondo addendo possa essere un primo o un semiprimo (ovvero il prodotto di due primi).

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Re: Congettura strana sui numeri primi: p_0=2*p_1+p_2

Messaggio da marcokrt » mar lug 30, 2013 6:58 pm

Ecco qui la mia proposta di "dimostrazione"... sarà giusta?

http://www.scribd.com/doc/157029142/Rip ... me-numbers

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Re: Congettura strana sui numeri primi: p_0=2*p_1+p_2

Messaggio da Gianfranco » gio ago 01, 2013 11:18 am

Marco, ho letto la tua dimostrazione e forse potrei arrivare a capirla. Potresti per favore scriverla in italiano, con tutti i passaggi spiegati bene, come se ti rivolgessi a un alunno duro di testa?
Se hai tempo e voglia, naturalmente.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Congettura strana sui numeri primi: p_0=2*p_1+p_2

Messaggio da Tino » gio ago 01, 2013 5:59 pm

Ciao!
marcokrt ha scritto:Ecco qui la mia proposta di "dimostrazione"... sarà giusta?

http://www.scribd.com/doc/157029142/Rip ... me-numbers
Non capisco bene.. è vero che p_0-p_1 è pari, e quindi se assumi Goldbach è uguale a p+q con p,q primi, ma come fai a dimostrare che puoi scegliere p,q in modo che uno di essi sia proprio uguale a p_1?
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
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Re: Congettura strana sui numeri primi: p_0=2*p_1+p_2

Messaggio da marcokrt » gio ago 01, 2013 10:16 pm

Tino ha scritto:Ciao!
marcokrt ha scritto:Ecco qui la mia proposta di "dimostrazione"... sarà giusta?

http://www.scribd.com/doc/157029142/Rip ... me-numbers
Non capisco bene.. è vero che p_0-p_1 è pari, e quindi se assumi Goldbach è uguale a p+q con p,q primi, ma come fai a dimostrare che puoi scegliere p,q in modo che uno di essi sia proprio uguale a p_1?
Buono spunto. In realtà sostengo che il vincolo determinante sia insito nell'ipotesi stessa... è però giusto richiedere una prova di quanto appena asserito. L'unico vincolo scomodo è appunto il fatto che $p_1$ è presente da ambo i lati (prima di invocare Goldbach), quindi mi si potrebbe eccepire che, se da un lato ho un arbitrario numero pari, dall'altro non ho una coppia libera di numeri primi. Questo (IMO) è vero.
Ecco come ho ragionato:

Mi propongo di dimostrare che la $n$ che discende dalla congettura di Goldbach è in corrispondenza univoca (biunivoca?) con la variabile libera $p_2$. Dunque parto da $p_0-p_1=p_1+p_2$, che vede $p_1$ comparire da ambo i membri, e $p_0-p_1=2*m$. Mi propongo di mostrare che essi appartengano allo stesso gruppo del $2*n=p_3+p_4$ che consegue dalla congettura di Goldbach.
Se, come facciamo per definizione, fissiamo $p_0$ e se $p_1$, come già visto, è da entambi i lati dell'uguale, abbiamo imposto tre dei quattro termini di un'uguaglianza e $p_2$ risulta dunque univocamente determinato e dovrà pertanto appartenere all'insieme a cui si applica il risultato della congettura di Goldbach (se ho $a+b=costante$ e $a$ viene scelto di volta in volta, pure $b$ è in corrispondenza uno-a-uno con $a$).
Accade dunque che, preso un certo $p_0$, ottengo un dato valore di $p_2$. Essendo il primo membro pari, posso certamente applicare G. e ottengo dunque $(p_a+p_b) | p_1=(p_1+p_2) | p_0$.
Adesso prendiamo un generico naturale $m>=4$ tale che $2m=p_3+p_4$... sono liberissimo di scegliere $m=n-->2n=2m-->p_1+p_2=p_3+p_4$. Essendo però $p_2$ fissato una volta che è stato fissato $p_0$ (come è), $p_1+p_2$ è un numero pari ($p_1$ e $p_2$ sono pari perché lo dimostro nel paper). Per Goldbach (di nuovo), esistono sempre due numeri casuali (quali sono $p_3+p_4$) che verificano l'uguaglianza.

La conferma empirica è legata all'evoluzione del partition number di $2n$: http://arxiv.org/pdf/0901.3102

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Re: Congettura strana sui numeri primi: p_0=2*p_1+p_2

Messaggio da Tino » ven ago 02, 2013 2:06 pm

Ciao! Non capisco sai...
marcokrt ha scritto:Se, come facciamo per definizione, fissiamo $p_0$ e se $p_1$, come già visto, è da entambi i lati dell'uguale, abbiamo imposto tre dei quattro termini di un'uguaglianza e $p_2$ risulta dunque univocamente determinato
Sì, è univocamente determinato, ma chi ti dice che sia un numero primo? A priori potrebbe essere un numero qualunque.
Essendo il primo membro pari, posso certamente applicare G. e ottengo dunque $(p_a+p_b) | p_1=(p_1+p_2) | p_0$.
Non capisco la notazione. Per p_a,p_b intendi quelli che poi chiami p_3,p_4? Il simbolo | significa "divide" ? Se no, cosa significa?
($p_1$ e $p_2$ sono pari perché lo dimostro nel paper).
p_1, p_2 sono numeri primi pari? Quindi sono uguali a 2.
Per Goldbach (di nuovo), esistono sempre due numeri casuali (quali sono $p_3+p_4$) che verificano l'uguaglianza.
Non vedo come questa conclusione sia legata a quello che vuoi dimostrare.
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Re: Congettura strana sui numeri primi: p_0=2*p_1+p_2

Messaggio da marcokrt » ven ago 02, 2013 8:40 pm

Tino ha scritto:Ciao! Non capisco sai...
Ciao! Non vedo dove sia il problema... se è univocamente determinato ti sei già risposto da solo.
Non capisco la notazione. Per p_a,p_b intendi quelli che poi chiami p_3,p_4? Il simbolo | significa "divide" ? Se no, cosa significa?
Intendo "dato il termine successivo"... come in una probabilità condizionata. Nel senso che il valore prima è vincolato da ciò che c'è dopo. $p_a$ e $p_b$ sono due numeri primi generici, li posso chiamare in un modo qualsiasi per distinguerli da quelli da cui parto.
Non vedo come questa conclusione sia legata a quello che vuoi dimostrare.
Qui, scrivendo di fretta e ho sbagliato in modo clamoroso. Intedevo che sono dispari (l'errore è ovvio).


Sono personalmente convintissimo che la conclusione sia giusta, ma temo che il passaggio conclusivo possa essere lacunoso. Se ci sono idee valide per provare meglio la cosa, ben vengano.

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Re: Congettura strana sui numeri primi: p_0=2*p_1+p_2

Messaggio da Tino » ven ago 02, 2013 9:42 pm

marcokrt ha scritto:Ciao! Non vedo dove sia il problema... se è univocamente determinato ti sei già risposto da solo.
E' univocamente determinato, ma chi ti dice che sia un numero primo? Cioè, se fissi due primi p_0,p_1 non è detto che p_0-2p_1 sia un numero primo. Questo mi pare chiaro, concordi?

Ti segnalo che io non capisco la tua dimostrazione. E' vero che puoi scrivere p_0-p_1 = p+q ma non capisco come fai a scegliere p,q in modo che uno di essi sia uguale a p_1. Secondo me gli argomenti che porti non sono sufficienti, oppure sono esposti in modo troppo poco chiaro. Puoi prenderla come la mia opinione, ma occhio, perché ho un minimo di esperienza nel trovare errori nelle dimostrazioni, e non mi liquiderei alla leggera se fossi in te :)

Ciao!
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Re: Congettura strana sui numeri primi: p_0=2*p_1+p_2

Messaggio da marcokrt » sab ago 03, 2013 2:21 pm

Rispondo al volo, poi replicherò meglio e con più calma.

E' probabilissimo che la dimostrazione non vada bene, questo non è neppure il mio campo di interesse e ho studiato economia (non sono uno studente né tanto meno un matematico).

Mi sa che potremmo semplificare/velocizzare la questione nel modo seguente: se quanto scriverò non è vero, difficilmente la dimostrazione potrà dirsi completa/corretta (il passaggio della corrispondenza univoca nella mia testa va bene, ma potrebbe benissimo essere una scemenza). Veniamo al dunque:

Un ragionamento che ho fatto e che mi pare troppo semplice per poter essere giusto è questo

Se $p_0-p_1=p_1+p_2$ e G. è vero, allora considero il secondo membro, quello a destra dell'uguale e mi disinteresso del primo.

$p_1+p_2$ sono a questo punto primi dispari generici e maggiori di $2$, ma fingiamo che siano qualisasi (i casi particolari posso sempre vederli dopo o, al limite, ri-includerli nella congettura... magari dimostrando il risultato per quella di Lemoine-Levy classica).

A questo punto, dicevo, ho che due primi generici, sommati, mi danno un numero pari ($p_0+p_1$, essendo $p_0>=7$ e $p_1>2$, è sempre pari).

Poiché $p_1$ e $p_2$ sono liberi e $p_0+p_1$ è un numero pari qualsiasi, per Goldbach, esisteranno sempre (almeno) due primi che, sommati, orginano quel numero pari lì. $p_1$ e $p_2$ formano appunto una di quelle coppie, in quanto posso prenderli in modo totalmente arbitrario e il vincolo che ci inquieta, a questo punto, non vale più.


Noto che uso G. due volte nella stessa dimostrazione... è probabile che ci sia una circolarità di ragionamento. A me fa piacere discutere di questa cosa in modo sereno, magari ricevendo anche nuove proposte su come procedere.

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Re: Congettura strana sui numeri primi: p_0=2*p_1+p_2

Messaggio da marcokrt » dom ago 04, 2013 3:02 pm

Eccomi di nuovo.

Finalmente ho avuto modo di ragionare più serenamente sulla questione e ho concluso che, considerando un dato $p_0$ indichiamo almeno una coppia di primi dispari ($p_1,p_2$). $p_0-p_1$ è un numero pari. Usando il risultato della congettura di G. si ha che un qualsiasi numero pari può essere scritto come la somma di almeno un'altra coppia di numeri ($p_a,p_b$. Per provare che la congettura nuova è implicita in quella di G. devo mostrare che o $p_1$ o $p_2$ coincidono con uno degli elementi della coppia di primi ($p_a,p_b$)... in quel caso anche l'altro sarebbe determinato e dovrebbe dunque essere pari all'altro numero primo di cui alla nuova congettura.
Dovendo questo essere vero per tutti i $p_0>5$, non credo sia poi facilissimo concludere in modo rigoroso quanto ho avventatamente asserito... insomma, mi rendo conto del fatto che, così com'è, la dimostrazione non può ancora dirsi completa. Entrambe le congetture del paper però dovrebbero essere vere: dico questo unicamente sulla base di considerazioni empiriche e dunque mi riferisco a una mera probabilità soggettiva da me percepita.

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