confronto di potenze

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Biancaneve

confronto di potenze

Messaggio da Biancaneve » ven dic 16, 2005 1:19 am

Dimostrare che per ogni n intero positivo:

n^{\frac {1}{n}} < 1 + (\frac {2}{n})^{\frac {1}{2}}

Bruno
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Messaggio da Bruno » sab gen 14, 2006 11:36 am

...

Questo problema mi ha un po' frenato.
Non sapevo come entrare nella sua affermazione, ma soprattutto non volevo
affrontarlo ricorrendo direttamente ad alcuni risultati noti.
Dico quindi grazie a chi lo ha proposto, per essermi sentito stimolato a cercare
altri percorsi.
Spiegherò le mie considerazioni imponendomi di essere il più chiaro possibile
e di ridurre al minimo i passaggi omessi.
;)


Innanzitutto, ho tradotto il quesito in questa forma:

\displaystyle n \,  \, 0 \,\, ,

ottenendo successivamente:

\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{r+1} \ge \left(1+\frac{r\cdot (r-1)}{n}+r\cdot sqrt{\frac{2}{n}}\right)\cdot \left(1+sqrt{\frac{2}{n}} \right) = 1+ \frac{(r+1)\cdot r}{n}+(r+1)\cdot sqrt{\frac{2}{n}}+\frac{r\cdot (r-1)}{n}\cdot sqrt{\frac{2}{n}} \,\,.

Il termine \displaystyle \, \frac{r\cdot(r-1)}{n}\cdot sqrt{\frac{2}{n}} \, non è negativo.

Questo significa che la sua eliminazione non indebolisce la disuguaglianza, cioè:

\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{r+1} \ge 1+ \frac{(r+1)\cdot r}{n}+(r+1)\cdot sqrt{\frac{2}{n}} \,\,.

Ma significa anche che la (1) vale per tutti gli esponenti interi e positivi, in quanto
siamo appena passati da uno qualsiasi di essi (\displaystyle r) a quello che viene subito
dopo (\displaystyle r+1).

L'idea era giusta. Ho così stabilito che, quando \displaystyle \alpha è un numero intero e positivo,
la disuguaglianza

\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}} \right)^ \alpha  \ge 1+\frac{\alpha\cdot (\alpha-1)}{n}+\alpha\cdot sqrt{\frac{2}{n}}

è sempre vera.
(In realtà, la disuguaglianza è vera anche per \displaystyle \alpha nullo.)

Dopo di che, ho sostituito \displaystyle \alpha con \displaystyle n ed è saltato fuori questo:

\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}} \right)^n \ge 1+\frac{n\cdot (n-1)}{n}+n\cdot sqrt{\frac{2}{n}} = n+n\cdot sqrt{\frac{2}{n}} \,\,.

Il termine \displaystyle \, n\cdot sqrt{\frac{2}{n} \,} è senz'altro positivo, rispetto all' \displaystyle n definito nel testo del
problema, e ignorarlo equivale allora a rafforzare la disuguaglianza.
Dunque:

\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n \, > \, n \, , \, ossia: \displaystyle \,\, 1+\left( \frac{2}{n} \right)^{\frac{1}{2}} \, > \, n^{\frac{1}{n}}\,,

per qualunque \displaystyle n intero e positivo.

Ma la (1) ha una conseguenza ancor più interessante del problema appena
dimostrato, si tratta della disuguaglianza:

\displaystyle 1+\left( \frac{2}{n+1} \right)^{\frac{1}{2}} \, \ge \, (n+1)^{\frac{1}{n}}\,,

sicuramente più forte.

> Come sempre, salvo errori & omissioni---

Un saluto a tutti!

;) Bruno


PS - Prima di affrontare la questione, mi è capitato di vedere altri tipi di soluzioni
basate su risultati più o meno noti, come la disuguaglianza di Bernoulli (per es. qui)
oppure la formula binomiale, che naturalmente ho voluto evitare.
Ultima modifica di Bruno il lun apr 03, 2006 9:15 am, modificato 7 volte in totale.

Pasquale
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Messaggio da Pasquale » sab gen 14, 2006 3:53 pm

Caspiterina!
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\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

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