Con un paio di forbici

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franco
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Con un paio di forbici

Messaggio da franco » lun mar 25, 2013 6:20 pm

Consideriamo un pentagono convesso con vertici A, B, C, D, E (in ordine) tale che:
area = 2013
AB = EA
BC = CD
angolo in A = angolo in C = 90°

Il quesito consiste nel trovare il modo di tagliare il pentagono in tre parti tali da ricostruire un quadrato con la stessa area.


On considère un pentagone convexe d’aire égale à 2013 dont les sommets A,B,C,D et E pris dans cet ordre sont tels que AB = EA , BC = CD, angle(EAB) = angle(BCD) = 90°.
Découper ce pentagone en trois morceaux de manière à reconstituer un carré de même aire.


ciao
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delfo52
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Re: Con un paio di forbici

Messaggio da delfo52 » lun mar 25, 2013 7:23 pm

immagino si debba trovare una soluzione unica valida per tutti i pentagoni dotati delle caratteristiche richieste.
Enrico

Pasquale
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Re: Con un paio di forbici

Messaggio da Pasquale » mar giu 07, 2016 12:41 am

Costruire un pentagono con le caratteristiche descritte, a parte la misura dell'area, non è difficile: è sufficiente che siano uguali a 120° gli angoli in B, D, E.
Una volta costruito un primo pentagono con le suddette angolazioni, con un'area di valore inferiore a quella richiesta, possiamo immaginare di ampliarne l'area, allungando un lato alla volta nella direzione opportuna, pian piano ed in modo continuo, fino a raggiungere idealmente l'area richiesta di 2013, lasciando inalterati i valori dei 5 angoli.
Si potrebbe anche partire da un'area maggiore di 2013 ed immaginare di raggiungere questa misura accorciando i lati.
Facciamo finta di esserci riusciti e di conoscere le misure dei lati: ammettiamo di riuscire a dividere il pentagono in 3 parti, tali da poterle combinare in modo da ricavarne un quadrato, non credo che sarebbe facile dimostrarlo, dovendosi giocare con segmenti valori irrazionali.
Voglio dire che, se capovolgessimo il problema, cioè dato un quadrato di area 2013, tagliarlo in 3 parti con cui costruire un pentagono, il che potrebbe sembrare in partenza anche più semplice, resterebbe sempre un problema l'inizio con una fastidiosa sqrt{2013}.
In sostanza, non so dove mettere mano e ripropongo questo quesito trovato nel dimenticatoio di qualche anno fa, onde poterci meditare, perché si suppone che una soluzione dovrebbe esserci.
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franco
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Re: Con un paio di forbici

Messaggio da franco » mar giu 07, 2016 7:35 am

Se siete interessati, la soluzione (in Francese) si può vedere qui:

http://www.diophante.fr/problemes-par-t ... -pentagone

ciao
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Pasquale
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Re: Con un paio di forbici

Messaggio da Pasquale » mar giu 07, 2016 8:37 pm

! ! ! TOSTO ! ! ! Grazie Franco. Ho letto la prima soluzione e devo fare un atto di fede, perché non ci ho capito un tubo, specie per quanto riguarda la simbologia utilizzata e non avendo compreso la ragione per cui l'area di quel pentagono misura 2013.
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Re: Con un paio di forbici

Messaggio da franco » mer giu 08, 2016 4:38 am

Le dimensioni del pentagono sono irrilevanti :)

Basta costruirlo seguendo le informazioni date (sono infinite possibili costruzioni) e poi sezionarlo come indicato nella soluzione.
Il valore dell'area dipende dall'unitá di misura utilizzata. Poiché non é specificata possiamo arbitrariamente decidere che sia 1/2013 della superficie del pentagono disegnato :D :D :D :D

PS
Capita frequentemente nei problemi proposti su diophante.fr che venga data una dimensione o un altro parametro pari al numero dell'anno in corso. Di solito serve solo a confondere le idee e conviene ragionare su una soluzione generalizzata.
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