Come il giovane Gauss (o quasi)
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Come il giovane Gauss (o quasi)
Abbiamo una calcolatrice con le funzioni trigonometriche e questa somma:
$\small sen\,3^o\,+\,sen\,7^o\,+\,sen\,11^o\,+\,sen\,15^o\,+\,sen\,19^o\,+\,...\,+\, sen\,395^o\,+\,sen\,399^o$.
Esiste una maniera veloce per calcolarla?
(Bruno)
$\small sen\,3^o\,+\,sen\,7^o\,+\,sen\,11^o\,+\,sen\,15^o\,+\,sen\,19^o\,+\,...\,+\, sen\,395^o\,+\,sen\,399^o$.
Esiste una maniera veloce per calcolarla?
(Bruno)
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Ops...
E poi cosa faresti, Enrico?
E poi cosa faresti, Enrico?
(Bruno)
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{Rudi Mathematici}
intanto se ne eliminano un bel po' grazie a sin (x + pigreco) = - sin x
dal momento che pigreco ossia 180 gradi e' multiplo intero di quattro gradi, lo step della sequenza.
gli altri, boh, se c'e' la calcolatrice forse si fa prima a calcolarli tutti e dieci o quantisono che a ragionarci su...
dal momento che pigreco ossia 180 gradi e' multiplo intero di quattro gradi, lo step della sequenza.
gli altri, boh, se c'e' la calcolatrice forse si fa prima a calcolarli tutti e dieci o quantisono che a ragionarci su...
Daniela
"L'essenza della libertà è la matematica"
"L'essenza della libertà è la matematica"
Ottimo, Daniela
E come dice anche Enrico (che pure si conferma, per me, un provetto arciere),
per questa via rimane una decina di seni da sommare... ma si può fare qualcosina
di più!
E come dice anche Enrico (che pure si conferma, per me, un provetto arciere),
per questa via rimane una decina di seni da sommare... ma si può fare qualcosina
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(Bruno)
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{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Se puo' interessare riporto una formula di caratttere generale:
$\sin\alpha+a\sin(\alpha+h)+a^2\sin(\alpha+2h)+a^3\si(\alpha+3h)+...+a^k\sin(\alpha+kh)=$
$=\frac{a^{k+2}\sin(\alpha+kh)-a^{k+1}\sin(\alpha+h(k+1)-a\sin(\alpha-h)+\sin\alpha}{a^2-2a\cosh+1}$
Nel caso nostro risulta (angoli in gradi sessagesimali):
$a=1,\alpha=3,h=4,k=99$ e quindi con qualche calcolo si trova che la somma S richiesta e':
$S=\frac{\sin20sin21}{sin2}=3.51$ circa.
Leandro
$\sin\alpha+a\sin(\alpha+h)+a^2\sin(\alpha+2h)+a^3\si(\alpha+3h)+...+a^k\sin(\alpha+kh)=$
$=\frac{a^{k+2}\sin(\alpha+kh)-a^{k+1}\sin(\alpha+h(k+1)-a\sin(\alpha-h)+\sin\alpha}{a^2-2a\cosh+1}$
Nel caso nostro risulta (angoli in gradi sessagesimali):
$a=1,\alpha=3,h=4,k=99$ e quindi con qualche calcolo si trova che la somma S richiesta e':
$S=\frac{\sin20sin21}{sin2}=3.51$ circa.
Leandro
Re: Come il giovane Gauss (o quasi)
...
Certo che interessa!
Con una lieve modifica alla correttissima soluzione generale di Leandro, in questo
preciso caso numerico potremmo anche scrivere:
${\small sen\,3^o\,+\,sen\,7^o\,+\,sen\,11^o\,+\,...\,+\,sen\,399^o} = \frac{\,sen\, (\frac{399+1}{2}) \cdot sen\, (\frac{399+1}{2}+1)}{sen\, 2} = \frac{\,sen\, 200\cdot sen\, 201}{sen\, 2}$
giusto per risaltare la simpatica somiglianza con il calcolo della somma dei primi
numeri naturali
Certo che interessa!
Con una lieve modifica alla correttissima soluzione generale di Leandro, in questo
preciso caso numerico potremmo anche scrivere:
${\small sen\,3^o\,+\,sen\,7^o\,+\,sen\,11^o\,+\,...\,+\,sen\,399^o} = \frac{\,sen\, (\frac{399+1}{2}) \cdot sen\, (\frac{399+1}{2}+1)}{sen\, 2} = \frac{\,sen\, 200\cdot sen\, 201}{sen\, 2}$
giusto per risaltare la simpatica somiglianza con il calcolo della somma dei primi
numeri naturali
(Bruno)
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Buona la formula di Leandro, che applicata alle mie risultanze diviene:
$\frac{\sin1+\sin3+\sin39-\sin43}{2(1-\cos4)}$
riferita alla somma dei seni di 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39 (residui risultanti dal trasporto di tutti i seni al primo quadrante).
Non mi dispiacerebbe di vedere come la suddetta formula potrebbe essere trasformata in altra più snella.
Suppongo che sia $\frac{\sin20\cdot\sin21}{sin2}$
$\frac{\sin1+\sin3+\sin39-\sin43}{2(1-\cos4)}$
riferita alla somma dei seni di 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39 (residui risultanti dal trasporto di tutti i seni al primo quadrante).
Non mi dispiacerebbe di vedere come la suddetta formula potrebbe essere trasformata in altra più snella.
Suppongo che sia $\frac{\sin20\cdot\sin21}{sin2}$
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Praticamente Leandro ha già annunciato la mia idea.Pasquale ha scritto:Bruno, tu dicevi che si può fare qualcosa in più?
Quando ho inventato il problema (perché, ahivoi, l'ho inventato!) ho pensato
a qualcosa che disorientasse un po' (i tanti termini che alla fine si volatilizzano)
e soprattutto avevo in mente questa bella uguaglianza:
${\small sen\,\alpha\,+\,sen\,(\alpha+k)\,+\,sen\,(\alpha+2k)\,+\,sen\,(\alpha+3k)\,+\,...\,+\,sen\,[\alpha+(n-1)k]} = \frac {sen\, \(\frac{nk}{2}\)\cdot \,sen\, \[\alpha+\frac{(n-1)k}{2}\]}{sen\, \( \frac {k}{2}\)$.
Il calcolo, quindi, si riduce a tre soli seni.
Considerando i dieci termini che tu hai messo in evidenza, Pasquale, abbiamo
effettivamente (per una ragione k=4 e un numero di addendi n=10):
${\small sen\,3^o\,+\,sen\,7^o\,+\,sen\,11^o\,+\,...\,+\,sen\,39^o} = \frac{sen\, \(\frac{10\cdot 4}{2}\) \cdot sen\, \(3+\frac{9\cdot 4}{2}\)}{sen\, \( \frac {4}{2}\)} = \frac{\,sen\, 20 \cdot sen\, 21}{sen\, 2}$
come hai giustamente supposto.
(Bruno)
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Bruno, ho provato la tua formula (anche con altre successioni) ed ho visto che funziona magnificamente: è molto semplice ed effettivamente ne ricorda altre.
Chissà se è possibile vedere come salta fuori (finora ci sono riuscito con una successione di 2 elementi, utilizzando le formule di prostaferesi e quelle di bisezione).
Chissà se è possibile vedere come salta fuori (finora ci sono riuscito con una successione di 2 elementi, utilizzando le formule di prostaferesi e quelle di bisezione).
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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