Collane tricolori

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giobimbo
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Collane tricolori

Messaggio da giobimbo » lun giu 10, 2019 2:59 pm

La gioielleria VNGARI, per celebrare l’occasione di una ricorrenza dell’Unità d’Italia, ha ideato una serie di collane che sta avendo un buon riscontro di vendite. Chiamate “TricoloreN” in base al numero N di grani di cui sono composte, sono fatte con diamanti e pietre dure verdi, bianche e rosse, lo stesso numero di pietre per ogni colore. Le pietre colorate sono numerate con numeri scelti tra 1 e N-1, ogni pietra un numero diverso. Grazie a questo è stato possibile dare un certo ritmo aritmetico al succedersi dei grani nella collana.

Posto un “TricoloreN” sul tavolo, partendo da un qualsiasi grano colorato e procedendo in senso orario, contando tanti grani quanti il numero segnato su quello di partenza si arriva sempre a un grano dello stesso colore. Questo per ogni grano e per ogni colore.

Un esempio con Tricolore7 nella figura sotto, dove V=verde, B=bianco, R=rosso e D=diamante:
base5 Tricolore7.png
base5 Tricolore7.png (22.7 KiB) Visto 346 volte
a partire da 6V contiamo 6 grani e finiamo su 1V,
a partire da 3B contiamo 3 grani e finiamo su 4B,
a partire da 2R contiamo 2 grani e finiamo su 5R,
a partire da 4B contiamo 4 grani e finiamo su 3B,
a partire da 5R contiamo 5 grani e finiamo su 2R,
a partire da 1V contiamo 1 grano e finiamo su 6V.

Invece di fare il disegno basta scrivere 6V 3B D 2R 4B 5R 1V.


Problema. Costruire Tricolore16 (3 pietre dure per ogni colore e 7 diamanti) rispettando tali condizioni.
Attenzione, nell’esempio di Tricolore7 avevamo 2B+2V+2R=6 numeri da scegliere dall’insieme dei numeri da 1 a N-1=6, quindi scelta facile, li abbiamo presi tutti. Per Tricolore16 bisogna prendere 3V+3B+3R=9 numeri dall’insieme dei numeri da 1 a N-1=15, dunque sei numeri verranno scartati.

Bruno
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Re: Collane tricolori

Messaggio da Bruno » mer giu 12, 2019 8:37 am

giobimbo ha scritto:
lun giu 10, 2019 2:59 pm
Problema. Costruire Tricolore16 (3 pietre dure per ogni colore e 7 diamanti) rispettando tali
condizioni.

Eccoti una collana con le caratteristiche richieste, Giobimbo :D

CollanaGB_16.jpg
CollanaGB_16.jpg (17.26 KiB) Visto 330 volte

In stringa: 12V D 2B D 6B 4R D D D 5R 8B D 3V D 7R 1V.
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Re: Collane tricolori

Messaggio da giobimbo » gio giu 13, 2019 5:32 am

Complimenti Bruno! Sembra che per te le sequenze abbiano pochi segreti ormai, ma da uno che è entrato nell’OEIS c’era da aspettarselo. Quale solutore (con Gianfranco) delle mie “Dissezioni isoperimetriche” immagino tu abbia notato le affinità col problema delle collane, anche se l’origine dei due è stata del tutto diversa. Infine, sembra che 16 grani sia il minimo per avere tre grani per colore.

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Re: Collane tricolori

Messaggio da Bruno » gio giu 13, 2019 8:26 am

Giobimbo :D i tuoi problemi sono tanto interessanti quanto inusuali, almeno secondo me, nella loro formulazione.
Capisco che c'è dietro uno studio e questo dà sempre rilevanza alle tue proposte: è un po' come se tu ci aprissi una finestrella sulla tua bottega di lavoro :wink:
Di solito il tempo è stretto, per cui spesso mi limito a guardare.
Fra parentesi, le sequenze sono colme di segreti per me, anche quelle all'apparenza semplici. Sono e rimango un principiante, sia pur curioso :D
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Re: Collane tricolori

Messaggio da Bruno » mar giu 18, 2019 5:15 pm

giobimbo ha scritto:
gio giu 13, 2019 5:32 am
Infine, sembra che 16 grani sia il minimo per avere tre grani per colore.

Caro Giobimbo, prima di andare a casa ho provato a realizzare una collana da quindici grani con tre grani per colore: eccola :D

CollanaGB_15.jpg
CollanaGB_15.jpg (18.07 KiB) Visto 284 volte

In stringa: 9V 7B 3R D D 8R D D 2B 5V 6B D D 4R 1V.

Di questo passo, chissà, arriverò a occuparmi di orecchini :mrgreen:

Grazie ancora per le tue proposte, sai, mi divertono :wink:
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Re: Collane tricolori

Messaggio da giobimbo » mer giu 19, 2019 3:46 pm

“Lo vedo, ma non ci credo” disse un mio omonimo... La tua soluzione è corretta, soddisfa le condizioni necessarie e sufficienti, ma quando cerco di usare i tuoi dati per costruire la collana il mio metodo dice che è impossibile: a mente più lucida cercherò di capire dove sbaglio.
Grazie del suggerimento.

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Re: Collane tricolori

Messaggio da Bruno » mer giu 19, 2019 4:04 pm

Attendo tue :D
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Re: Collane tricolori

Messaggio da giobimbo » sab giu 29, 2019 5:59 am

Impegni che richiedevano la mia attenzione mi hanno tenuto lontano dal forum, adesso sono più libero e vedrò di concludere questo argomento delle collane. Prima di tutto correggo un’assurdità che ho scritto, cioè che la soluzione di Bruno “soddisfa le condizioni necessarie e sufficienti”. Sicuramente soddisfa le condizioni necessarie, cioè che la somma dei numeri sui grani di ogni colore deve dare n, ma non so quali siano le condizioni sufficienti, ma se danno una soluzione corretta allora lo sono :D
Il problema per me, matematicamente parlando, era quello di trovare cicli di 3 elementi su una permutazione di n elementi. Pensavo che partendo da 3 elementi (invece di n, numero più grande) fosse più facile, così ho fatto e la cosa sembrava funzionare visto che ho trovato la collana con 16 elementi, ma in realtà sono finito fuori strada. Riesaminamdo il problema alla luce della soluzione di Bruno ho capito dove sbagliavo e ho trovato anche una soluzione per Tricolore14:

1B 3B D 5V 10B 12V 6R 13R 11V D D D 9R D

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Re: Collane tricolori

Messaggio da Bruno » sab giu 29, 2019 11:54 pm

giobimbo ha scritto:
sab giu 29, 2019 5:59 am
1B 3B D 5V 10B 12V 6R 13R 11V D D D 9R D
Giobimbo, o non ti ho capito o c'è qualcosa che non va nella tua soluzione per 14: 5V va in 11V ma passa sopra a 12V... 6R va in 9R ma passa sopra a 13R... :roll:
Forse ho dato per scontato che la regola comprendesse il fatto di non passare sopra a un grano con lo stesso colore?
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Re: Collane tricolori

Messaggio da giobimbo » dom giu 30, 2019 6:34 am

Forse ho dato per scontato che la regola comprendesse il fatto di non passare sopra a un grano con lo stesso colore?
Esatto. Sarebbe interessante capire cosa ti ha suggerito l'idea di questa condizione aggiuntiva.

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Re: Collane tricolori

Messaggio da Bruno » dom giu 30, 2019 3:00 pm

Era implicita nella tua prima soluzione. Ma, soprattutto, evitare di passare sullo stesso colore mi sembrava più elegante :wink:
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Re: Collane tricolori

Messaggio da Bruno » lun lug 01, 2019 2:01 pm

Eliminando la mia limitazione ( :( ), durante l'odierna pausa di pranzo, per la tua "versione 14", ho trovato facilmente anche questa soluzione:
1B 11B D 10V 9V D D D D 2R 13R 12R 3B 5V :D

Certo, tutt'altra cosa rispetto al non passar sopra.
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