quante volte N un cerchio di raggio r è contenuto in un cerchio di raggio R (>r)? si può ricavare una espressione "esatta" ed esplicita per N(r,R), almeno in qualche caso particolare? in generale si può fare una stima con errore maggiorabile? a me interessa particolarmente il caso R=100r

ciao, scusa se non ho ben capito il problema, manco da un po' da base5 cosa che mi dispiace moltissimo. Ti riferisci al rapporto fra le aree? Se sono figure identiche (questo vale in generale, non solo per figure domestiche come i cerchi) il rapporto fra le aree e' esattamente il quadrato del rapporto fra le dimensioni lineari. Ciao

Mi rendo conto che dopo N ore senza dormire e una mazzata di 9 ore di fuso orario si scrivono delle stupidaggini, forse ti riferivi ad un impacchettamento di 2-sfere, e ad un cerchio grande che viene disegnato su questa specie di carta da impacchettare, sulla quale conti le sferette complete oppure misuri l'area totale delle sferette e loro pezzi che stanno dentro quella grande?
daniela

credo di aver capito che sia un problema di "impacchettamento", nel senso che si chiede quanti cerchi piccoli è possibile sovrapporre al cerchio grande, senza che si sovrappongano fra loro.
Problemi simili, sia nelle due che nelle tre dimensioni, sono spesso meno semplici di quel che parrebbe, e talvolta portano a soluzioni inedite.
Esistono almeno due modi di affrontare il problema:
A-partire da un rapprto R:r noto e provare a farci stare più cerchietti possibile
B-partire da un numero dato di r , e cercare il minimuo R che li contiene

Prova a dare un'occhiata qui http://mathworld.wolfram.com/CirclePacking.html, se ho capito bene c'è la soluzione della tua richiesta (è necessario il dizionario di inglese.... )

ciao!

non c'entra direttamente col problema, ma ricordo di aver letto qualche decennio fa, che per calcolare il volume di carico dei bagagliai delle auto, una rivista tecnica (quattroruote o simile), non volendo fidarsi dei dati ufficiali forniti dalla Casa, e non potendosi usare formule geometriche semplici per volumi di forma anomala, adottò il sistema delle palline da tennis.
Riempiva il bagagliaio con centinaia di palline, agitava leggermente l'autovettura, contava le palline, moltiplicandone il volume per un coefficiente fisso, e otteneva il volume cercato.
In realtà non è necessario contare le palline; essendo di peso costante basta pesarle...
Nel caso di un bagagliaio il sistema ha una precisione più che accettabile; per i pignoli...palline da ping pong

mathmum ha scritto:Prova a dare un'occhiata qui http://mathworld.wolfram.com/CirclePacking.html, se ho capito bene c'è la soluzione della tua richiesta (è necessario il dizionario di inglese.... )

ciao!

benissimo, il mio è proprio un problema di "impacchettamento"... per ora ho dato solo un'occhiatina, trovo conferma che il problema non è banale e mi sembra che non esista una soluzione per il caso particolare che mi interessa (R/r dell'ordine 100)... guarderò bene...grazie a tutti, ciao

delfo52 ha scritto:non c'entra direttamente col problema, ma ricordo di aver letto qualche decennio fa, che per calcolare il volume di carico dei bagagliai delle auto, una rivista tecnica (quattroruote o simile), non volendo fidarsi dei dati ufficiali forniti dalla Casa, e non potendosi usare formule geometriche semplici per volumi di forma anomala, adottò il sistema delle palline da tennis.

... questa è la differenza tra un ingegnere e un matematico....

ciao! (non me ne voglia lo Zio....)

mathmum ha scritto:

delfo52 ha scritto:non c'entra direttamente col problema, ma ricordo di aver letto qualche decennio fa, che per calcolare il volume di carico dei bagagliai delle auto, una rivista tecnica (quattroruote o simile), non volendo fidarsi dei dati ufficiali forniti dalla Casa, e non potendosi usare formule geometriche semplici per volumi di forma anomala, adottò il sistema delle palline da tennis.

... questa è la differenza tra un ingegnere e un matematico....

ciao! (non me ne voglia lo Zio....)

io invece di fronte a questi problemi sono un ingegnere pentito...

Per dare un minimo di risposta, direi che in un cerchio di raggio 100r possiamo sistemare, senza sovrapposizioni, almeno 7828 cerchi ci raggio r.
Lo so che è poco, ma è un dato sicuro (salvo errori) che si basa sulla seguente costruzione:

Considero r=1 ed a partire dalla circonferenza massima, traccio le circonferenze concentriche di raggio 100, 98, 96, .... , 2: si determinano 49 corone circolari ed un cerchio centrale ed in ognuna di queste aree vado a sistemare i miei cerchietti di raggio 1, tutti affiancati, come nella figura che segue, nella quale sono rappresentate idealmente le due corone circolari più esterne, delimitate da circonferenze di colore blu (sulle circonferenze di colore verde giacciono i centri di quelle di raggio unitario
Il numero di cerchietti che possiamo sistemare in ogni corona è dato dal rapporto fra l'angolo di 180° e l'angolo AOB, per quanto riguarda l'ultima corona, o l'angolo COD per la penultima e così via dicendo, fino alla corona più centrale: nel cerchio centrale sistemiamo infine due cerchietti come di seguito
Per ogni corona, sono noti l'ipotenusa ed un cateto dei triangoli rettangoli in figura, per cui è facile calcolare l'angolo di vertice O (per ogni corona più interna, l'ipotenusa diminuisce di 2 unità, fino alla più piccola che vale 3).
Il seguente programmino calcola, somma e dà il totale:

OPTION ANGLE DEGREES
LET c=2 '(i 2 cercchietti centrali)

FOR i=99 TO 3 STEP -2
LET a=ASIN(1/i)
LET x=INT(180/a)
PRINT x
LET c=c+x
NEXT I
PRINT
PRINT "Cerchi contenuti: almeno";c
END

Appare evidente che il sistema descritto spreca tanto spazio disponibile, mentre la formazione che segue ne consumerebbe il meno possibile, ma quanto meno, abbiamo una base di partenza da migliorare e su cui ragionare.


In quest'ultimo disegnino intravvedo una stimolante possibilità di ottenere il numero preciso di cerchietti sistemabili....forse....chissà.....

….dunque, sempre considerando cerchietti di raggio unitario, in un quadrato 200x200 ne sistemiamo una prima fila di 100, come da disegno, e subito sotto una seconda fila di 99, occupando gli spazi intermedi in modo che i centri di 3 cerchietti tangenti costituiscano i vertici di un triangolo equilatero di lato 2 ed altezza $sqrt{3}$: è possibile calcolare agevolmente che una tale disposizione permette la sistemazione di 58 file da 100 cerchietti e 57 da 99 per un totale di 11.443 cerchietti.
Lo stesso risultato avremmo ottenuto partendo con una fila centrale di 100 cerchietti e procedendo con la sistemazione di una fila sopra ed una sotto da 99, quindi una ancora sopra ed altra ancora sotto da 100 e così via: in totale sarebbero state egualmente 58 file da 100 e 57 da 99.
Se avessimo suddiviso il quadrato in 100 fasce da 200x2, avremmo sistemato in queste 100x100 = 10.000 cerchietti, lasciando libero uno spazio complessivo maggiore: dunque le disposizioni precedenti sono più convenienti.
Adesso, se tracciamo la circonferenza inscritta di raggio 100, all'interno di questa abbiamo la maggiore concentrazione di cerchietti, così come l'abbiamo nel quadrato, a differenza della disposizione per corone circolari illustrata nel precedente intervento.
Quindi, dal momento che se n'è parlato, calcoliamo i cerchietti contenuti in modo "ingegneristico", cioè in proporzione al contenuto del quadrato:

Area quadrato: Area cerchio = Numero cerchietti nel quadrato: Numero cerchietti nel cerchio

$\text Numero cerchietti nel cerchio = \frac{10.000 \pi \cdot 11.443}{40.000} = 8987$

Penso che tale valore sia il massimo possibile e che piuttosto potremmo sistemare nel cerchio grande qualche cerchietto in meno, secondo il tracciato della circonferenza grande, dovendosi eliminare i cerchietti da questa intersecati: tuttavia, ritengo che il valore indicato sia abbastanza valido come ordine di grandezza, in quanto la circonferenza di raggio 100, può al massimo intersecare 311 cerchietti (dato rilevabile dalla prima reiterazione del programmino di calcolo allegato alla soluzione con le corone circolari); quindi i cerchietti sistemabili secondo la disposizione descritta, possono variare da un minimo di 8987-311=8676 ad un massimo di 8987.
A voi la palla.

Mi pare che in un esagono regolare inscritto nella circonferenza grande possano entrare 7450 cerchietti: in ogni semiesagono (a forma di trapezio isoscele) 99+98+97+....+50 = 3725

......strano, credevo di più....controllare please....forse fra i lati dell'esagono e la circonferenza c'è spazio sufficiente per infilare altri cerchietti.

No, rivedendo meglio la questione dell'esagono, ho visto che in un esagono regolare, inscrivibile nella circonferenza di raggio 100, è possibile inserire solo 7351 cerchietti di raggio 1.
Si può procedere così: sistemo un cerchietto e tutt'intorno a questo ne piazzo 6 tutti attaccati e tangenti col primo, ottenendo una disposizione a forma di esagono regolare.
Intorno a questo esagono, sistemo tanti cerchietti che si dispongono anch'essi a forma di esagono: ne occorrono 6+6=12.
Proseguo sempre allo stesso modo ed ogni volta ottengo un nuovo esagono di lato maggiore del precedente e per ottenerlo occorrono 6 cerchietti in più: in definitiva eseguo l'operazione 49 volte ed al termine, lungo una diagonale maggiore avrò disposto, compreso il primo cerchietto centrale e solitario, 99 cerchietti; con il che mi riesce di circoscrivere l'esagono più esterno con una circonferenza di raggio 100: in totale avrò sistemato nell'esagono $\frac {6+294}{2}\cdot 49 +1 = 7351$ cerchietti, cioè una quantità minore del minimo indicato precedentemente col calcolo definito "ingegneristico" (il tutto, salvo stupidi errori).
Tuttavia, si tratta di una quantità precisa fino all'ultimo cerchietto.

Per concludere, stavo pensando, che disponendo i cerchietti come nella soluzione dell'esagono, ma estendendo la dispozione oltre il necessario (diciamo pure all'infinito), non resterebbe che puntare un compasso, aprirlo col raggio preferito (diciamo 100, per restare al nostro problema), eliminare tutti i cerchietti intersecati e contare gli altri: tutto questo facendo centro in punti diversi del piano.
Si potrà simulare tali operazioni, magari col un programmino?
Stavo pensando, fra l'altro, che il metodo di calcolo "ingegneristico" è tanto più preciso, quanto più cresce il raggio del cerchio grande....e con questo, per il momento ho concluso, salvo novità.

A me risultano 7501 inscritti nell'esagono grande e 8892 in tot. ora sto uscendo ma appena posso posto i calcoli e i ragionamenti seguiti.