Per concludere, stavo pensando, che disponendo i cerchietti come nella soluzione dell'esagono, ma estendendo la dispozione oltre il necessario (diciamo pure all'infinito), non resterebbe che puntare un compasso, aprirlo col raggio preferito (diciamo 100, per restare al nostro problema), eliminare tutti i cerchietti intersecati e contare gli altri: tutto questo facendo centro in punti diversi del piano.
Si potrà simulare tali operazioni, magari col un programmino?

Stavo pensando, fra l'altro, che il metodo di calcolo "ingegneristico" è tanto più preciso, quanto più cresce il raggio del cerchio grande....comunque, ho effettuato una verifica, applicando il metodo su dati noti, cioè sui cerchietti inseribili in un quadrato 200x200 in fasce parallele di 200x2 (cioè 10.000 cerchietti) e i cerchietti inseribili il un cerchio suddiviso come sopra in corone circolari, che sappiamo essere 7828: ebbene, applicando la proporzione

Area quadrato: Area cerchio grande = cerchietti contenuti nel quadrato: cerchietti contenuti nel cerchio grande

$40.000:10.000\pi=10.000:x$

x = 7853

Il metodo mi dice che i cerchietti ne cerchio grande dovrebbero essere 7853, mentre sappiamo che sono 7828

L'errore è piccolo ed è evidente che il metodo non tiene conto di eventuali cerchietti intersecati dalla circonferenza di raggio 100: se supponiamo che la circonferenza interseca il maggior numero possibile di cerchietti, che sappiamo essere 311, possiamo dire con certezza che i cerchietti inseribili nel cerchio grande non sono meno di 7853-311=7542, mentre sappiamo che sono 7828 (qui abbiamo un errore in difetto, perché evidentemente la circonferenza grande non interseca il massimo possibile di cerchietti, ma solo una parte).
Detto questo, ritengo che il calcolo "ingegneristico" effettuato nell'intervento precedente acquisisce una sua considerevole validità, che l'errore è minimo e che il valore di 8676 cerchietti indicato dopo la sottrazione di 311 cerchietti è un valore approssimato per difetto: abbiamo anzi visto che è più vicino alla realtà il valore approssimato per eccesso, cioè 8987.
Attendo vostri commenti (scusate se gli argomenti sono sparpagliati, ma le varie considerazioni sono state effettuate in tempi diversi: occorre quindi partire dall'inizio).

Bene Jepa, solo adesso vedo che ti sei inserito nella discussione, ma mi fa piacere che il tuo valore rientri fra il minimo e il massimo da me indicato, perché questo significa che le mie elucubrazioni non sono del tutto peregrine e che ci sto con l'ordine di grandezza.
Sarà ancora più interessante vedere il procedimento seguito per calcolare il numero preciso.

Allora, anch'io ho pensato di seguire il metodo dell'esagono circoscritto in cui si vede che ogni esagono ha 6 cerchi in + del precedente, percui si ha, considerando il cerchio di partenza:
1+6+12+18+... per 49 esagoni
da cui si può raccogliere
1 + 6*somma 1..49
e quindi
1+6*1225=7351
poi ho fisicamente contato i cerchi contenuti iin 1/12 della parte restante di settore circolare che son 116 per cui si ha che il tot dei cerchi contenuti in una circonferenza di raggio 100 è:
7351+116*12=8743
salvo errori di valutazione.


Una cosa è conoscere la via giusta, un'altra seguirla!

Chiedo scusa per il dato sbagliato riportato stamane ma per la fretta avevo commesso un errore nel valutare la somma dei cerchi contenuti negli esagoni.

!! l'area dei segmenti circolari......non l'avevo considerata: ma come hai fatto a disegnare tutti i cerchietti che hai contato? Bravo!

Ho realizzato il disegno con autocad e ho disegnato un segmento che sezionava un lato dell'esagono maggiore determinando un settore di 1/12 delimitato in parte dalla circonferena e in parte dallo stesso esagono, nel quale non ho fatto altro che inserire i corrispondenti cerchi e contarli, un metodo semi-ingegneristico!!

Bene Jepa, avevo immaginato qualcosa del genere, per cui nel frattempo mi ero messo anch'io all'opera con altro programma ancora meno ingegneristico (excel), con il quale ho disegnato uno dei 6 segmenti circolari, all'interno del quale ho contato 247 cerchietti: per cui, 247x6 = 1482+7351 = 8833, che resta sempre all'interno di quella forbice precedentemente indicata 8676/8987.
Non è mai una cosa precisissima, ma insomma siamo lì.
Tieni presente che la disposizione nel segmento circolare della prima fila di cerchietti (quella più numerosa) l'ho considerata a cavallo del lato dell'esagono, per occupare gli spazi vuoti esistenti fra due cerchietti contigui.

Ho fatto anch'io come te, ma mi son reso conto che se il disegno lo fai con autocad, sei costretto a scartare alcuni dei 247 cerchi perche cadono, anche se leggermente, al di fuori del settore e si riducono a 232. Cmq diciamo che al di la di un possibile minimo errore siamo nell'ordine di cerchi che abbiamo citato; bello sarebbe vedere se sia possibile determinare una legge che dia il numero di cerchi del segmento circolare, anche se a prima vista mi sembra difficile in quanto il numero di cerchi contenuti, in questo caso è funzione non quantificabile (credo) della dimensione dei cerchietti e degli spazi che riescono a occupare. Sicuramente è possibile formulare una legge che da un risultato con un margine di errore accettabile.

Si, ci siamo avvicinati, ma bello sarebbe determinare al fin della vicenda il numero esatto e questo si può fare.
La strada giusta è quella dell'esagono, perché conduce a punti fermi: sappiamo quanti cerchietti sono contenuti con precisione nell'esagono, con il minimo possibile di spazi vuoti, conosciamo le forme e le misure e si tratta quindi di lavorare un po'.
Una volta ricostruita la situazione dell'ultima fila di cerchietti rispetto al lato dell'esagono che li contiene, che conviene sia 100 e dunque non tangente, conosciamo:
la lunghezza del lato
la quantità di cerchietti della fila più vicina (50)
la disposizione dei centri di tali cerchietti
la distanza fra due centri adiacenti
la posizione del centro di un nuovo cerchietto che vogliamo sistemare fra due esistenti (vertice di un triangolo equilatero) ed all'interno del segmento circolare
ecc.

Bene, tutti questi dati sono utili per definire sul piano cartesiano l'equazione del cerchio grande e l'equazione di ogni nuovo cerchietto che si vuole aggiungere all'interno del segmento circolare, noti il centro ed il raggio (è sufficiente esaminare solo quelli dubbi).

Mettendo in sistema l'equazione della circonferenza grande con quella della circonferenza piccola, si vede se esistono una, due o nessuna soluzione reale (due soluzioni ci dicono che la circonferenza grande interseca quella piccola in due punti e quindi il cerchietto non trova posto).
Mi pare di ricordare dagli studi precedenti, ma si può calcolare, che l'altezza del segmento circolare permette al massimo di inserire 7 file di cerchietti, per cui ci sarebbero da esaminare (lavorando su mezzo segmento) sull'ordine di una quindicina/ventina di equazioni.
La cosa è un po' laboriosa e certamente non mi ci metto a farla, ma seguendo questa strada, chi ne ha voglia può determinare con estrema precisione quanti cerchietti sono contenuti in un segmento circolare: tale valore moltiplicato per 6 e sommato a 7351 darà il valore totale cercato.
Per semplificare la procedura, è possibile inscrivere il segmento circolare il un rettangolo che riempiremo di cerchietti continuando il motivo di quelli già piazzati nell'esagono: così facendo, essendo nota la quantità di ogni fila, sarà agevole calcolare la quantità di cerchietti all'interno del segmento per ogni fila, una volta individuato il cerchietto avente due punti in comune con il cerchio grande.
A parte qualcosa che possa essere sfuggita, o qualche imprecisione, spero di essermi spiegato.

Questo topic si fa sempre più interessante;
mi dispiace che in questo periodo abbia troppo poco tempo;

in ogni caso complimenti a Jepa e Pasquale.

Admin

Sono arrivato a contare 9080 cerchietti: mi sembrano troppi e devo controllare; forse da qualche parte ho fatto qualche errore, anche se il conteggio l'ho da fare a Decimal, ma non vuol dire....vedremo.

Scusate, ero io.
Ripeto con correzione:
"Sono arrivato a contare 9080 cerchietti: mi sembrano troppi e devo controllare; forse da qualche parte ho fatto qualche errore, anche se il conteggio l'ho dato da fare a Decimal Basic, ma non vuol dire....vedremo."

C'è $\sqr{3}$ che introduce delle imprecisioni: per non correre il rischio di sopravvalutare, lo arrotonderò per eccesso, mentre finora ho lavorato con un arrotondamento per difetto.

Appena mi viene voglia di rifare tutti calcoli ed aggiornare il programma, sarò più chiaro: comunque ho realizzato uno dei procedimenti che avevo accennato nei vari interventi.

Ho sistemato sul piano cartesiano una rete sufficientemente ampia di cerchietti di raggio 1, uniti fra loro nel modo più compatto possibile, ed ho preso nota delle coordinate dei loro centri (qui nasce l'imprecisione, in quanto entra in gioco $\sqr{3}$); quindi ho sistemato sul piano molti cerchi grandi di raggio 100, con diverse coordinate dei loro centri, e per ognuno ho calcolato quali e quanti cerchietti della rete iniziale sono all'interno della sua circonferenza (in prima battuta quelli i cui centri distano dal centro del cerchio grande per non più di 100 unità); quindi fra questi sono andato a scartare tutti quelli che avevano 2 punti in comune con la circonferenza grande; il numero residuo di cerchietti è quello contenuto con precisione nel cerchio grande.
Nella figura che segue è possibile visualizzare quanto descritto, anche se le misure non sono quelle nostre:

Spostando il centro del cerchio grande nell'ambito di una certa zona del piano, peraltro minima viste le simmetrie esistenti, si può vedere come cambia la quantità dei cerchietti contenuti ed alla fine si sceglie come posizione del cerchio grande quella che determina il maggior numero di cerchietti contenuti.
Nella figura che segue è visualizzato un particolare ingrandito della rete di cerchietti con l'area entro la quale viene fatto variare il centro della circonferenza grande (c'è una certa ridondanza per convenienza di programmazione):


Il programma di calcolo che ho realizzato restituisce il numero di cerchietti contenuti relativamente alle coordinate del centro del cerchio grande: l'esecuzione non termina, perché cambia continuamente la posizione del cerchio grande, alla ricerca di una migliore.
Mi riservo la pubblicazione, se interessa, non appena avrò provveduto ad un controllo di tutti i calcoli implementati e dell'algoritmo; nel frattempo seguono degli output ottenuti:

cer cont = 9057 / coord centro = 0, 0
cer cont = 9068 / coord centro = .382136149509873, 0.372151399067633
cer cont = 9076 / coord centro = .952289525862918, 0.214524707444407
cer cont = 9077 / coord centro = .643659740986144, 1.10288540025935
cer cont = 9078 / coord centro = 1, 0
cer cont = 9078 / coord centro = .533881502474603, .87515661788304
cer cont = 9078 / coord centro = .869048170684394, .139391878722467
cer cont = 9080 / coord centro = .539770801802990, 0.867471531718845
cer cont = 9080 / coord centro = .984233385875930, 1.79277797543099E-2
cer cont = 9080 / coord centro = .541377106467900, 0.86739234151594
cer cont = 9080 / coord centro = .998097470960625, 4.18262637099586E-2
cer cont = 9080 / coord centro = .518233639429432, 0.855220097909382
cer cont = 9080 / coord centro = .519482424724606, 0.846784611983394

Comunque, in definitiva, a parte la possibilità di errori contenuti nella compilazione dell'algoritmo, mi pare che con la procedura descritta si riesca a determinare il massimo dei cerchietti contenuti.

mi chiedo (anzi ti chiedo):
perchè hai preso in considerazione tutti i cerchietti con centro a distanza "fino a 100" dal centro del cerchio grande, per poi doverne escludere non pochi attraverso la ricerca e il conto dei punti di contatto; non è più economico prendere in considerazione solo i cerchietti con centro a distanza "fino a 99" ?

Ho dato una limatina e questo è l'output:

cer cont = 9070 / coord centro = .415277863351758, .439353900590122
cer cont = 9074 / coord centro = .312323802863864, .541138476464006
cer cont = 9076 / coord centro = .694630287895738, 1.19889323600653
cer cont = 9078 / coord centro = .595096855739642, .833686666341322
cer cont = 9079 / coord centro = .563892102750899, .855168199180931
cer cont = 9080 / coord centro = .99176913887205, 2.05695968714584E-2

Quindi confermo per il momento 9080 cerchietti: mi resta da controllare per scrupolo l'implementazione del sistema di equazioni per la ricerca dei cerchietti che vengono intersecati dalla circonferenza grande (la più laboriosa e quindi suscettibile di possibili errori).

Bravo Enrico, giusto! Sarà perché il lavoro doveva farlo il computer e quindi non mi sono preoccupato di pensare come velocizzare e ottimizzare: è stata la prima idea che mi è venuta e non ci sono tornato più, perché avevo da studiare altre problematiche connesse alla traduzione in programma delle cose andavo man mano pensando.
Comunque apporto la modifica suggerita che non solo mi velocizzerà il tutto, ma mi eviterà di effettuare i controlli di cui parlavo: infatti, il risultato che ho ottenuto finora penso che sia frutto di un errore del programma, essendo un valore troppo grande rispetto a quelli indicati nei precedenti interventi da me e da Jepa.
Grazie, sei sempre un grande....vado di corsa a modificare (che testa!)
Enrico, ma come fa l'ora del tuo post ad essere 12,06 a.m.?