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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Pasquale
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Messaggio da Pasquale » sab gen 21, 2006 2:21 pm

Bene, bene: pensa e ripensa, puf, puf, prendendo spunto da quanto già detto, stavolta credo di esserci.

Noi vogliamo sapere quando:

a) x^3+9x^2+8x+9 = m^3

cioè quando la a) è un cubo, con la limitazione che x ed m devono essere interi e positivi.

x^3 certamente è un cubo ed è minore del valore della a)

Quindi se la a) è un cubo, ponendo:

m = x+k; m^3 = (x+k)^3, con k intero e positivo, dovrà essere:

x^3+9x^2+8x+9 = x^3 +3kx^2+3k^2x+k^3

da cui:

(9-3k)x^2+(8-3k^2)x+(9-k^3) = 0

x_{1,2}=\frac {(3k^2-8 ) \mp sqrt {(36k^3+108k)-(3k^4+48k^2+260)}}{18-6k}

Una radice reale esiste se:

36k^3+108k \ge 3k^4+48k^2+260 \text { e } k\neq 3

E' agevole verificare che questo si verifica per k=2 \text { e } 4\le k \le 10, considerando solo i valori interi di k, ma le radici devono essere anche intere e positive e questo si verifica solo per k = 2, nel qual caso:

x = 1
m = x + k = 3

Per tali unici valori, la a) diventa un'identità ed è quello che si cercava.
Ultima modifica di Pasquale il dom gen 22, 2006 2:47 pm, modificato 1 volta in totale.
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Pasquale
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Messaggio da Pasquale » dom gen 22, 2006 2:34 pm

Ma non è questo uno di quei problemi per i quali una volta (tanti anni fa) si faceva la cosiddetta discussione (non ricordo bene)?

Peraltro mi ha lasciato da pensare quanto richiesto da Bruno circa i procedimenti che portano alla formulazione di un quesito, confondendo me che sono un semplice scarso dilettante con un possibile studioso.

Effettivamente, bisogna fare tanto di cappello a tutti coloro che riescono a proporre quesiti tali che presuppongono un preventivo serio studio, ma non solo: non credo che possa essere sufficiente studiare, o insegnare matematica, per conseguire tale obiettivo; oltre la bravura, penso debba occorrere tanta fantasia.

Forse ci si specializza pure in tale attività, non so, ma comunque bisogna essere molto bravi.

Come si fa ad inventare quesiti matematici? A volte magari l'idea ti viene durante lo studio di tutt'altra cosa o per caso, ma non è certo questo che sta alla base di un'apprezzabile produttività.

Forse qualche utente di questo forum, registrato ed esperto di queste cose, che ormai sempre più raramente ci onora di qualche suo interessante intervento (mi riferisco a Francesco Veneziano) può darci qualche lume in materia.

A proposito Bruno, parli (scrivi) come un professore: lo sei?
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Bruno
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Messaggio da Bruno » lun gen 23, 2006 12:48 pm

...

Ciao, Pasquale, ti leggo solo ora.
Pasquale ha scritto:A proposito Bruno, parli (scrivi) come un professore: lo sei?

Non lo sono, no. Spero comunque che il tuo sia un complimento...
Pasquale ha scritto:... confondendo me che sono un semplice scarso dilettante con un possibile studioso.
Che tu sia "un semplice scarso dilettante" non lo posso certo dire io.
Per me, Pasquale, per le cose che posso intuire o sapere di te, tu potresti
benissimo essere uno studioso.


Per passare alla tua risoluzione (ben più importante del mio scrivere),
devo farti i miei complimenti!
Fra i miei coriandoli di tempo (già si vedono le sfrappole in giro...), stavo
andando anch'io in questa direzione e mi ha fatto piacere leggere il tuo
contributo.

Aggiungerei solo una mia piccola considerazione.

Partendo dalla relazione base del problema e quindi dalla tua \displaystyle {\text \footnotesize m=x+k},
penso che si possa supporre (dimmi se sbaglio) che m ed x siano
semplicemente interi, come indicato nel testo del quesito.
Guardando il discriminante, poi, si può capire che k dev'essere positivo:
diversamente, infatti, sotto la radice avremmo senz'altro un numero
negativo, visto che comunque lo è \displaystyle {\text\footnotesize -(3k^4+48k^2+260)}.
Quindi si può passare ai k>0, con tutte le cose che hai ben indicato.
E' solo per legare direttamente al quesito la tua risoluzione finale.


Le riflessioni molto interessanti che hai fatto nel tuo ultimo post
meritano senz'altro di essere approfondite. Per quanto mi riguarda,
però, penso che potrei aggiungere ben poco di significativo.
Come dice Peppe, senza fantasia non si può essere né poeti, né
matematici. Condivido pienamente.
Ecco, accanto alla fantasia metterei anche (ma forse è solo una
precisazione) la capacità di meravigliarsi, il saper guardare le cose
con quello stupore che conoscevamo bene da bambini, ma che
spesso si perde per strada.


Ciao e a presto,



;) Bruno

Pasquale
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Messaggio da Pasquale » lun gen 23, 2006 11:46 pm

Si Bruno, condivido le precisazioni e grazie.
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