...'ispirato' da Capovolgimenti di fronte di Pasquale, mi sono chiesto
qual è il più piccolo numero il cui triplo si ottenga spostando all'inizio
la sua ultima cifra

dagli appunti del dottor Matrix
13---31.... (errore:2)
103...310..(errore:1)
1033..3103(errore:4)
.........
anche
28....82...(errore :2)
ma
208 non va ben, mentre
206....620 ..(errore:2)

Dottor Matrix?????
Delfo_Neo ???

Dottor Matrix, se non ricordo male, c'entrava qualcosa con M. Gardner...

...era una specie di "mago dei numeri".


Saluti da
prontoadimparare

Ciao Bruno,
ho dimostrato che tale numero non può essere di nè di 3 nè di 4 cifre;
al che, ho sospettato che la cosa potesse andare avanti per molto, così ho provato a generalizzare la dimostrazione, senza successo;
Quindi ho realizzato un programmino java;
il prog. ha verificato fino a interi di 8 cifre;
del numero in questione non si hanno tracce.

(Forse mi sbaglio; ho fatto tutto molto di fretta)

Sto cercando di estendere il programmino ma mi servono delle librerie multiprecisione in java;
forse Panurgo mi può aiutare.

Ciao
Admin

Pietro ha scritto:(...) il prog. ha verificato fino a interi di 8 cifre

...in effetti, ne ha 'qualcuna' in più

(Beati voi, comunque, se riuscite a maneggiare mezzi tanto sofisticati!)

sicuramente deve essere un multiplo di 3

Supponiamo che il numero N da trovare abbia n (>1) cifre e siano :
b l'ultima cifra di N
a il numero formato dalle n-1 cifre di N che precedono b.
Si avra' :
N=10a+b
mentre il numero M ottenuto dallo spostamento di b risultera' essere:
$M=10^{n-1}b+a$ e dunque l'eguaglianza M=3N diventa:
$10^{n-1}b+a=30a+3b$ da cui si trae:
$a=\left (\frac{10^{n-1}-3}{29}\right) b$
e sostituendo nell'espressione di N:
$N=\left (\frac{10^n-1}{29}\right) b$
Ora ,poiche' 29 e' primo e non puo' dividere b,esso deve dividere $10^n-1$
ovvero deve risultare che $10^n \equiv 1 (mod 29)$
Poiche' 10 e 29 sono coprìmi ,cio' e' possibile per Fermat se n=29-1=28.
Ne segue che i numeri cercati sono del tipo :
$N=\left (\frac{10^{28}-1}{29}\right) b$.
Escludendo il caso banale b=0 e facendo qualche calcolo (col calcolatore mi raccomando,la comune
calcolatrice non ci arriva!!!), si trova che deve essere
$3 \leq b \leq 9$ ed ovviamente l'N piu' piccolo si avra' per b=3
Per completezza riporto il valore di $\frac{10^{28}-1}{29}=344827586206896551724137931$
(27 cifre: proprio cosi',salvo errori)
Pertanto il minimo numero richiesto e' :
N(min)=344827586206896551724137931*3=1034482758620689655172413793
e si verifica che 3*N(min)=3103448275862068965517241379
col 3 spostato in testa.
Leandro

divisibile per tre volevo dire

leandro ha scritto: (...) 1034482758620689655172413793 (...)

...proprio così, Leandro, questo è il numero che ho trovato anch'io
Che dire... bravissimo!

(Bruno)

Mentre stavo postando la mia soluzione, mi sono accorto che Leandro aveva inviato la sua ottima soluzione! ;
per cui anzitutto ti faccio complimenti; soprattutto per la parte dove applichi Fermat, che io invece ho calcolato "empiricamente" (sto teorema di Fermat mi dimentico sempre che esiste!);

Comunque ormai l'ho scritta e quindi ecco la mia soluzione:

Consideriamo un generico intero $N$, di $c$ cifre;
indichiamo il numero intero formato dalle prime $c-1$ cifre di $N$ con $x$;
ed indichiamo il numero corrispondente all'ultima cifra di $N$ con $y$.

Es. $N=123456\quad\Rightarrow\quad x=12345\quad$ e $\quad y=6$

Possiamo riscrivere $N$ come:

$N=10x+y$

Indicando invece con $M$ il numero che si ottiene da $N$ spostando la sua ultima cifra all'inizio, per quanto indicato sopra, $M$ ci è dato da:

$M=10^{c-1}y+x$

dove $c$ è il numero di cifre di $N$, e quindi anche di $M$.

Ora deve essere $3\cdot N=M$, cioè:

$3(10x+y)=10^{c-1}y+x\quad\Rightarrow\quad29x=(10^{c-1}-3)y$

da cui:

$\frac{29x}{10^{c-1}-3}=y$

Ora, $x$ e $y$ sono interi positivi ed $y$ è compreso tra 0 e 9;
quindi ciò vuol dire che i valori $29x$ e $10^{c-1}-3$ devono essere dello stesso ordine di grandezza, e $29x$ deve essere divisibile per $10^{c-1}-3$;

per quanto riguarda questa divisibilità, si nota che, se x è multiplo di $10^{c-1}-3$ o è proprio pari a $10^{c-1}-3$ si ha $y=29k$ con k intero positivo; il che non è accettabile dato che $0\leq y\leq 9$;
quindi, obbligatoriamente, si deve avere che $10^{c-1}-3$ sia divisibile per 29;
ho provato per valori crescenti di c, e per $c=27$ si ha il numero:

$10^{27}-3=999999999999999999999999997$

che è divisibile per 29, e che ci da:

$\frac{10^{27}-3}{29}=34482758620689655172413793$

quindi il numero cercato ha 27 cifre;
la nostra uguaglianza diventa:

$\frac{29x}{10^{c-1}-3}=y\quad\Rightarrow\quad \frac{29x}{10^{26}-3}=y\quad\Rightarrow\quad \frac{29x}{29\cdot34482758620689655172413793}=y\quad\Rightarrow\quad$

$\frac{x}{34482758620689655172413793}=y\quad\Rightarrow\quad x=34482758620689655172413793\cdot y$

essendo $0\leq y \leq 9$ abbiamo 10 coppie di valori x,y che soddisfano l'uguaglianza; a noi però interessa il numero più piccolo;
per cui dobbiamo scegliere tra le varie coppie quella col valore di x più basso;
poi c'è un'altra condizione da rispettare; e cioè che il prodotto $3\cdot N$ deve avere lo stesso numero di cifre di $N$;

ora per $y=1$ si ha:

$x=34482758620689655172413793$
$y=1$

che però non rispetta la condizione di cui sopra;
la coppia che soddisfa l'uguaglianza e che rispetta la condizione è:

$x=103448275862068965517241379$
$y=3$

e quindi il numero $N$ cercato è:

$N=1034482758620689655172413793$


Admin

Pietro ha scritto:Comunque ormai l'ho scritta e quindi ecco la mia soluzione

...ed è questo che conta, secondo me: conta il fatto che ciascuno cerchi la propria
soluzione, visto che, qualunque sia la strada, c'è sempre qualcosa da imparare.
Quindi: estendo i miei complimenti (e pure i tuoi...) anche a te

(Bruno)

L'argomento trattato in questo post riprende in parte quello trattato in un vecchio post (credo perduto) dal titolo "Dietro front del 2".

Ciao

Ai complimenti di Bruno per Admin unisco anche i miei.
In pratica e' come se Admin avesse ritrovato il teorema
di Fermat e non e' cosa da poco!
Leandro

Dal 3103448275862068965517241379
spostando il 9 in testa si ottiene un numero triplo di quello di partenza

9310344827586206896551724137=3*3103448275862068965517241379