calcoli su di una Serie geometrica ...

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Admin
Amministratore del sito
Amministratore del sito
Messaggi: 781
Iscritto il: mer apr 20, 2005 2:47 pm
Località: Benevento

calcoli su di una Serie geometrica ...

Messaggio da Admin » mer dic 21, 2005 6:07 pm

Salve,
mi serve il vostro aiuto;

qualcuno mi sa dire quanto vale la somma dei primi N termini di questa serie?

1+2\cdot p^3+3\cdot p^4+4\cdot p^5+...+N\cdot p^{N-1}+...

con p costante.

Ho provato a ricercare su tutti i libri in mio possesso ma sono riuscito solo a trovare a quale valore converge all'infinito.
Ho provato anche a calcolare tale somma manualmente, ma la cosa va per le lunghe.

Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1387
Iscritto il: mer mag 25, 2005 3:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 » mer dic 21, 2005 8:32 pm

N-1 o N+1 ?
qual è l'esponente giusto?
Enrico

Ospite

Messaggio da Ospite » gio dic 22, 2005 12:53 am

L'esponente più "giusto" sembrerebbe N+1, anzi anche il primo termine sarebbe "più bello " se fosse p^2. In questo caso la somma mi viene
p^2-(N+1)p^(N+2)+Np^(N+3) tutto fratto (1-p)^2
Se invece il primo termine è proprio 1 (e ammesso che nonostante la stanchezza la somma sia esatta) basta "aggiustarla" con +1-p^2.

Ciao e buon natale a tutti

Elena

Pasquale
Livello 11
Livello 11
Messaggi: 2356
Iscritto il: mer mag 25, 2005 1:14 am

Messaggio da Pasquale » gio dic 22, 2005 2:16 am

Brava Elena, come al solito, e grazie per gli auguri che contraccambio con un Buon Natale a tutti.

La formula funziona perfettamente:

Somma = \frac {p^2 - (N+1)\cdot p^{N+2} + N\cdot p^{N+3}}{(p-1)^2} - p^2 + 1
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Admin
Amministratore del sito
Amministratore del sito
Messaggi: 781
Iscritto il: mer apr 20, 2005 2:47 pm
Località: Benevento

Messaggio da Admin » gio dic 22, 2005 8:54 am

Oops,
ho sbagliato a scrivere l'equazione;
in effetti solo l'n-esimo termine è corretto;
l'equazione corretta è:

1+2\cdot p+3\cdot p^2+4\cdot p^3+5\cdot p^4+...+N\cdot p^{N-1}+...

Sempre la somma dei primi N termini.

P.S.: Pasquale, mi puoi spiegare se non ti porta via molto tempo, come hai fatto per l'equazione precedente?

Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net

Ospite

Messaggio da Ospite » gio dic 22, 2005 12:16 pm

La somma è:
S = [1 - p^n - n*p^n + n*p^(n + 1)]/(1 - p)^2

panurgo
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1171
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Messaggio da panurgo » gio dic 22, 2005 1:15 pm

Anonymous ha scritto:La somma è:
S = [1 - p^n - n*p^n + n*p^(n + 1)]/(1 - p)^2
Spesso mi vo, sentendomi (non senza imbarazzo) laudare per la presunta acutezza del mio ingegno: ecco un esempio di qualcosa che mi lascia ogni volta con gli occhi sgranati e il bocchino tondo :shock: E una domanda: ma come faranno...

P.S.: traduco la formula

S = \frac {1 - p^n - n p^n + n p^{n + 1}} {(1 - p)^2}
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1387
Iscritto il: mer mag 25, 2005 3:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 » gio dic 22, 2005 2:20 pm

interessante esempio di come possano accadere errori e "cantonate".
Dato il testo proposto inizialmente, sarebbe apparso molto più ovvio (almeno a me) pensare che l'errore era nel segno "meno" in fondo e non nell'infinita serie degli esponenti precedenti.

A volte si da per scontato che la situazione più "normale", più semplice sia quella giusta.
In questi giorni i miei fratelli ed io staimo procedendo ad una suddivisione di un giardino ai fini catastali, e per compravendite imminenti.
Uno dei "tagli" che devoo essere trascritti nelle piantine, per motivi che non vale la pena ricordae, corre a 80 cm dalla linea ideale di prolungamento della parete esterna di un immobile; logica ed estetica vorrebbero che la linea coincidesse con tale prolungamento, ma così non è.
Sta di fatto che i collaboratori dello studio ingegneristico che cura l'affare, credendo di far bene, "correggono " ogni volta l'anomalia, producendo carte, mappe e quant'altro, ogni volta sbagliati e da rifare.....
Enrico

0-§
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 454
Iscritto il: ven nov 18, 2005 10:33 pm
Località: Bologna

Messaggio da 0-§ » gio dic 22, 2005 7:41 pm

In effetti si poteva capire che era giusto solo l'ennesimo termine,altrimenti il primo termine sarebbe stato 1p^2.
Ah,per chi non é così bravo in matematica(come me):dov'é la cappellata di Ospite e perché é tanto buffa?
Ariveduorci
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

Ospite

Messaggio da Ospite » gio dic 22, 2005 10:51 pm

Confermo la somma di Ospite (anch'io sono ospite, però sono Elena, non ricordo mai la mia password).

Si può vedere così:

1+2p+3p^2+4p^3+...+(n-1)p^(n-2)+np^(n-1)=

=1+...+p^(n-1)+ (1)
+p+...+p^(n-1)+
+p^2+...+p^(n-1)+
...
+p^(n-2)+p^(n-1)+
+p^(n-1)=

=1-p^n fratto 1-p + (1)
+ p-p^n fratto 1-p +
+ p^2-p^n fratto 1-p +
...
+ p^(n-2)-p^n fratto 1-p +
+ p^(n-1)=

(1+p+p^2+...+p^(n-2))-(n-1)p^n tutto fratto 1-p + p^(n-1)

riapplicando la (1) e dopo qualche calcoletto si ha la formula di ospite.

Ciao

elena[/b]

Pasquale
Livello 11
Livello 11
Messaggi: 2356
Iscritto il: mer mag 25, 2005 1:14 am

Messaggio da Pasquale » ven dic 23, 2005 1:38 am

Per Admin: a riguardo della vecchia serie sbagliata, la formula non era mia, ma di Elena; io l'avevo solo messa in bella copia e ne avevo provato il funzionamento.
Quindi spetta sempre ad Elena la spiegazione.
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Admin
Amministratore del sito
Amministratore del sito
Messaggi: 781
Iscritto il: mer apr 20, 2005 2:47 pm
Località: Benevento

Messaggio da Admin » sab dic 24, 2005 12:33 pm

Ringrazio tutti per gli interventi;

x Elena

se non ricordi più la password posso cancellarti come utente, in modo che tu possa riregistrarti con lo stesso nome e con una nuova password.

Fammi sapere.

Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net

Rispondi