Buon anno!

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
0-§
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 454
Iscritto il: ven nov 18, 2005 10:33 pm
Località: Bologna

Buon anno!

Messaggio da 0-§ » lun gen 09, 2006 8:26 pm

Già,buon duemilasei!
Mi sono accorto che 2006=500+501+502+503,cioé é la somma(banale in verità) di quattro numeri consecutivi.
Più interessante 2005=196+197+198+199+200+201+202+203+204+205,oltreché ovviamente 1002+1003.
Dunque,le domande.
A)Quali numeri non si possono esprimere come somma di due o più numeri consecutivi?
E' un problema in realtà piuttosto vecchio ma io mi ci sono appassionato fin da subito.Ho prodotto ben due dimostrazioni del fatto che tutte e solo le potenze intere di due(se non conoscete ancora il problema ingrandite a vostro rischio e pericolo)non si possono ottenere con questo tipo di somma,e quaglione come sono le ho perse entrambe!E con l'età,oltre alla memoria,sto perdendo anche le capacità matematiche,perché non so più dimostrarlo.Come si dimostra?
Io ci sono arrivato dimostrando dapprima che tutti i numeri di quel tipo non andavano bene e poi che erano i soli tra gli interi,ma sapevo in anticipo la risposta.Come procedere se non si sanno se esistano dei numeri non scomponibili in questa maniera né quali siano?
B)Esiste una funzione y=c(x) che esprima il numero y di diverse possibili partizioni di x con numeri consecutivi?
C)Esiste una funzione y=C(x) che indica le partizioni possibili (anche con numeri non consecutivi) di x?
Ramanujan studiò a lungo queste funzioni,ma io non ho trovato nulla su di esse.
Scrivetemi se trovate qualsiasi cosa!
Ciao!
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1387
Iscritto il: mer mag 25, 2005 3:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 » lun gen 09, 2006 11:46 pm

Scrivetemi se trovate qualsiasi cosa!
l'imperativo è alquanto vago.
Ieri ho trovato in un vecchio cassetto alcune mie elucubrazioni sulle serie di Fibon. scritte quando avevo più o meno la tua età (e non sapevo nulla di Fibonacci).
Poi ho trovato un pelo nella zuppa, e una bolletta da pagare nella posta.
Ma non credo che fosse a questo che ti riferivi....
Enrico

panurgo
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1189
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Messaggio da panurgo » mar gen 10, 2006 8:42 am

I numeri somma di n naturali consecutivi si ottengono con la formula \frac {\left ( n - 1 \right ) n} 2 + kn \quad \quad k \in N: gli unici numeri che mi sembrano esclusi sono le potenze di 2.
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

panurgo
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1189
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Messaggio da panurgo » mar gen 10, 2006 1:14 pm

panurgo ha scritto:I numeri somma di n naturali consecutivi si ottengono con la formula \frac {\left ( n - 1 \right ) n} 2 + kn \quad \quad k \in N: gli unici numeri che mi sembrano esclusi sono le potenze di 2.
La somma di n naturali consecutivi, k, k+1, \ldots, k+n-1, può essere calcolata sottraendo la somma dei primi k - 1 naturali dalla somma dei primi k + n - 1 naturali

\sum\limits_{i = k}^{k + n - 1} i  = \sum\limits_{i = 0}^{k + n - 1} i  - \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} i  = \frac{{\left( {k + n - 1} \right)\left( {k + n} \right)}}{2} - \frac{{\left( {k - 1} \right)k}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2} + kn

Un'occhiata veloce ai numeri che si ottengono

\begin{array}{cc} n & {S_k} \\ 2 & {1,3,5,7,9,11, \ldots } \\ 3 & {3,6,9,12,15, \ldots } \\ 4 & {6,10,14,18, \ldots } \\ 5 & {10,15,20,25, \ldots } \\ 6 & {15,21,27,29, \ldots } \\ 7 & {21,28,35,42, \ldots } \\ 8 & {28,36,44,52, \ldots } \\ 9 & {36,45,54,63, \ldots } \\ {10} & {45,55,65,75, \ldots } \\ \end{array}

Per n = 4p si ha una sequenza di numeri pari 2 p \left (4 p – 1 \right ) + 4 k p.

Per n = 4p + 1 si ha una sequenza alternata di pari e dispari

Per n = 4p + 2 si ha una sequenza di numeri dispari 8 p^2 +2 \left (3 + 2k \right ) p + 2 k +1.

Per n = 4p + 3 si ha una sequenza alternata di dispari e pari

Poichè per n = 2 si ha la successione dei naturali dispari, eventuali naturali che non siano la somma di n naturali consecutivi devono essere pari

Dimostrazione che una potenza di 2 non può essere somma di n naturali consecutivi.

Sia per ipotesi

\frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2} + kn = 2^m

esplicitiamo in funzione di k

k = \frac{{2^m }}{n} - \frac{{n - 1}}{2}

Se n = 1, allora k = 2^m, come è ovvio: la "somma" di un naturale è uguale ad una potenza di 2 quando quel naturale è una potenza di 2.

Nel nostro caso, n > 1, perché k sia naturale devono essere naturali entrambi i termini ma, il secondo termine è naturale se e solo se n è dispari

\frac{{n - 1}}{2} = p \in N \Leftrightarrow n = 2p + 1

mentre il secondo è naturale se e solo se n = 2^q e quindi è pari.

Ne consegue che

\frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2} + kn \neq 2^m

Q.E.D., A.M.M.G.

Altre considerazioni richiedono ulteriore thinking (pensiero sottile)…
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1387
Iscritto il: mer mag 25, 2005 3:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 » mar gen 10, 2006 2:25 pm

un applauso a Panurgo, vero "reuccio" (thin king) del calcolo !
Enrico

Bruno
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1096
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Messaggio da Bruno » mer gen 11, 2006 4:47 pm

...

Mi unisco all'appluso per Panurgo ;)


Ieri sera ho letto il post di 0-§ e ho fatto queste considerazioni, che propongo
in alternativa.

La somma di \displaystyle \, {\tex\footnotesize 2k+1}\, numeri naturali consecutivi può essere vista così:

\displaystyle 1. \,\,\, (m-k)+...+(m-1)+m+(m+1)+...+(m+k) = m\cdot (2k+1)

per \displaystyle \, {\tex\footnotesize 0  1}, perché altrimenti
non si avrebbe \displaystyle \, {\tex\footnotesize k > 0} \, e ci sarebbe un solo "addendo".

Nell'altro caso, invece, dev'essere \displaystyle \, {\tex\footnotesize 2m+1 > 1}, perché altrimenti non si
avrebbe \displaystyle \, {\tex\footnotesize 0 < k < m+1} \,.

Le potenze di 2, dunque, non avendo divisori dispari maggiori di 1, non
corrispondono a nessuna somma di numeri interi positivi e consecutivi.


PS

Se le potenze di 2 non portano a casa nulla, i numeri primi dispari non fanno
certo un gran bottino. Infatti, si verifica agevolmente, sulla base dei casi 1. e 2.
appena trattati (che inoltre permettono di trovare le varie somme conoscendo
i divisori del numero da rappresentare), che qualsiasi numero primo maggiore
di 2 può essere scritto come somma di due soli numeri naturali consecutivi.
Si vede anche, però, che i quadrati dei numeri primi sono un pochino più
fortunati, etc.



;) Bruno
Ultima modifica di Bruno il mer gen 11, 2006 6:49 pm, modificato 1 volta in totale.

Bruno
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1096
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Messaggio da Bruno » mer gen 11, 2006 4:58 pm

0-§ ha scritto:Mi sono accorto che 2006=500+501+502+503,cioé é la somma(banale in verità) di quattro numeri consecutivi.
0-§ , per quello che ho appena postato (se&o), credo che tu abbia sottovalutato un po'
il nostro 2006 ;)

Se per 2005 hai trovato una somma di 10 numeri naturali consecutivi, pensa che
per 2006 ne esiste una di quasi sessanta...

..........
Bruno
Ultima modifica di Bruno il gio gen 12, 2006 10:18 am, modificato 1 volta in totale.

0-§
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 454
Iscritto il: ven nov 18, 2005 10:33 pm
Località: Bologna

Messaggio da 0-§ » mer gen 11, 2006 5:38 pm

Ho trovato questo procedimento per vedere le possibili somme che danno 2006,od in generale un numero dato D: (D-T(n))(n+1).T(n) é l'ennsimo triangolare,n é un numero che parte da 1 e aumento nei vari tentativi;quando ottengo un numero intero I,la successione é I,I+1,I+2,...,I+n.Con la calcolatrice ci vuole molto tempo,quindi non mi sono spinto fino a n=59.Quindi la somma parte da 4 e arriva a 63,giusto?
Vorrei far notare che i problemi B) e C) che ho proposto sono rimasti irrisolti.
E aggiungo:
D)Esiste una algoritmo che,dato il suddetto numero D calcoli i valori che n assume nelle somme esatte?E' qualcosa di più della domanda B(dato D,quante sono le possibili partizioni in interi consecutivi),perché qua bisogna trovare anche quali sono.Idee?
E,questo é un po' più facile)Bruno dice che i numeri primi maggiori di due hanno solo una scomposizione,quella che gli viene dall'essere dispari.Solo loro hanno questa proprietà?
F,un'estensione)Prima le potenze di 2 e poi i numeri primi:che sequenze interessanti!Provo ad andare avanti:quali numeri hanno due,e solo due scomposizioni possibili?Avranno anch'essi delle notevoli particolarità?E i numeri che hanno solo 3,4,5,..n scomposizioni?
Va bene anche cercare in giro lavori di Ramanujan su questo argomento (non so perché ma ho l'impressione che lui sia di un filo più bravo di me in matematica).
Ho finito con le domande,non vorrei essere troppo petulante.
Spero che i questiti vi interessino.
Ciao!
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

Bruno
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1096
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Messaggio da Bruno » mer gen 11, 2006 8:08 pm

0-§ ha scritto:...Quindi la somma parte da 4 e arriva a 63,giusto?
...parte da 5 ---
0-§ ha scritto:...Vorrei far notare che i problemi B) e C) che ho proposto sono rimasti irrisolti.
...come dice Panurgo, ci vuole ulteriore "thinking" ---
0-§ ha scritto:...D)Esiste una algoritmo che,dato il suddetto numero D calcoli i valori che n assume nelle somme esatte?E' qualcosa di più della domanda B(dato D,quante sono le possibili partizioni in interi consecutivi),perché qua bisogna trovare anche quali sono.
...la questione può essere affrontata in vari modi e ci vuole un po' di tempo
(almeno, io ne avrei bisogno).
Intanto, però, ti posso dire che un procedimento per determinare le somme che
chiedi può essere questo.
Riprendiamo 2006 e scomponiamolo nei suoi divisori, mettendo in evidenza
quelli dispari:

\displaystyle 2006 = 1003\cdot 2 = 59\cdot 34 = 17\cdot 118.

Vediamo ora come dev'essere il risultato della somma con un numero dispari
di addendi (caso 1°, ved. sopra):

\displaystyle (2k+1)\cdot m

con \displaystyle \, {\tex\footnotesize 0 m }\, e quindi non c'è somma.

Per \displaystyle \, {\tex\footnotesize 2k+1=59}\, ed \displaystyle \, {\tex\footnotesize m=34},\, invece, risulta \displaystyle \, {\tex\footnotesize m>k=29}\, .
Allora, il più piccolo numero della somma è \displaystyle \, {\tex\footnotesize m-k=5}\, e il più grande è \displaystyle \, {\tex\footnotesize m+k=63}\, .

Per \displaystyle \, {\tex\footnotesize 2k+1=17}\, ed \displaystyle \, {\tex\footnotesize m=118},\, risulta ancora \displaystyle \, {\tex\footnotesize m>k=8}\, .
Il più piccolo numero della somma è \displaystyle \, {\tex\footnotesize m-k=110} \, e il più grande è \displaystyle \, {\tex\footnotesize m+k=126}\, .


Passiamo al 2° caso. Abbiamo la formula finale:

\displaystyle (2m+1)\cdot k

con \displaystyle \, {\tex\footnotesize 0 k}\, .
Allora, il più piccolo numero della somma è \displaystyle \, {\tex\footnotesize m-(k-1)=500}\, e il più grande è \displaystyle \, {\tex\footnotesize m+k=503} \, .

Per \displaystyle \, {\tex\footnotesize 2m+1=59 e k=34},\, invece, risulta \displaystyle \, {\tex\footnotesize m+1=30<k}\, e perciò non c'è somma.

Per \displaystyle \, {\tex\footnotesize 2m+1=17}\, e \displaystyle \, {\tex\footnotesize k=118},\, è certamente \displaystyle \, {\tex\footnotesize m+1<k}\, e non c'è somma.

Qui dobbiamo fermarci.

0-§ ha scritto:...Bruno dice che i numeri primi maggiori di due hanno solo una scomposizione,quella che gli viene dall'essere dispari.
...ma non perché sono dispari ammettono solo questa rappresentazione.
Infatti, giusto per fare un esempio:
27 = 2+3+4+5+6+7 (pur essendo dispari).

Spero di non aver dimenticato qualcosa per strada, ma questo è tutto ciò che
riesco a dire a quest'ora... (e non vorrei pensare a tutte le lettere dell'alfabeto
che 0-§ ha ancora a disposizione!)

;) Bruno
Ultima modifica di Bruno il gio gen 12, 2006 10:08 am, modificato 1 volta in totale.

0-§
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 454
Iscritto il: ven nov 18, 2005 10:33 pm
Località: Bologna

Messaggio da 0-§ » mer gen 11, 2006 8:20 pm

Con "la scomposizione che gli viene dal fatto di essere dispari" intendo dire che la scomposizione in due numeri consecutivi é propria solo dei dispari e di tutti i dispari,quindi i numeri primi dovevano per forza averla:dimostrare poi che hanno solo quella é altra faccenda.
Quanto alle altre domande,spero che riuscirete presto a risolverle(non contattate me:io sono buono,come sempre,solo di pormele,poi rispondere é decisamente al di là delle mie possibilità).
Che dire?Grazie dell'aiuto che mi avete mostrato fin qui -non solo in questo topic-e...buon anno,naturalmente!
Aloha!
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

Bruno
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1096
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Messaggio da Bruno » gio gen 12, 2006 10:16 am

...

Sorry, 0-§... Solo adesso sono riuscito a capire il senso corretto della tua frase,
ieri ero un tantinello offuscato.
Spero di averti detto lo stesso qualcosa di interessante.

Ciao!

;) Bruno




PS

Ops! Hai appena scritto di non contattarti, però nel tuo post iniziale ci hai invitati a scriverti...
E' naturale, comunque, che le discussioni dei problemi possano interessare chiunque, anche
se in qualche caso vien spontaneo eleggere un interlocutore (per quanto riguarda me, almeno).

0-§
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 454
Iscritto il: ven nov 18, 2005 10:33 pm
Località: Bologna

Messaggio da 0-§ » ven gen 13, 2006 6:14 pm

"Non contattate me" se dovete chiedermi una mano a risolvere il problema(ma no,dai,chiedete pure:chissà che non possa esservi d'aiuto),ogni altro messaggio(specie se é una soluzione) é più che gradito.
Ora,una piccola citazione:
Scrivetemi se trovate qualsiasi cosa!
l'imperativo è alquanto vago.
Ieri ho trovato in un vecchio cassetto alcune mie elucubrazioni sulle serie di Fibon. scritte quando avevo più o meno la tua età (e non sapevo nulla di Fibonacci).
Poi ho trovato un pelo nella zuppa, e una bolletta da pagare nella posta.
Ma non credo che fosse a questo che ti riferivi....
Delfo,il pelo mi fa un po' senso e la bolletta non mi interessa(semre che tu non voglia farla pagare a me):ieri ho però ricevuto il tuo messaggio su Fibonacci e ti vorrei ringraziare di cuore.Oggi mi metterò a studiarlo approfonditamente.
Ciao!
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

Daniela
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 456
Iscritto il: lun nov 21, 2005 9:40 am

Messaggio da Daniela » ven gen 13, 2006 7:40 pm

Anche io non voglio la bolletta che non ho voglia di pagare ne' il pelo che mi ricorda una cosa orribile che mi faceva mio figlio quando sapeva appena appena parlare: "Ti tiro i peli!!" e lo faceva!!! Il lettore malizioso si sara' fatto un'idea sbagliata, che sarebbe peraltro molto piu' innocua della sua terribile trovata......
..... tirarmi le ciglia!!!!
invece vorrei il fiboscritto, con cui, chissa', potrei un giorno nemmeno tanto lontano, vendicarmi :twisted: :twisted: :twisted:

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1387
Iscritto il: mer mag 25, 2005 3:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 » ven gen 13, 2006 9:05 pm

oramai devo rendere di pubblico dominio il mio giovanile parto; premetto che non si tratta di nulla di sensazionale.

Ho trovato questi appunti tra le carte sepolte nei cassetti della mia vecchia scrivania di studente; risalgono agli anni del ginnasio o ai primi anni di liceo.
Considerate che all’epoca non sapevo nulla di Fibonacci e dei suoi numeri, e che anzi, fu proprio dopo che le ebbi presentato questi appunti, che la prof. B. ci parlò di tutta la storia e di tutte le implicazioni della serie di F. e della sezione aurea….

Ebbene, le mie elucubrazioni partivano anziché dalla serie 1-1-2-3-5-8-13-…da quella (molto più ovvia per noi avvezzi allo zero) 0-1-1-2-3-5-8-13-…
Dopodiché, come è naturale per chi ha dimestichezza con i numeri negativi, la serie veniva estrapolata a ritroso, per arrivare a:
……;-21 ; +13 ; -8 ; +5 ; -3 ; +2 ; -1 ; +1 ; 0 ; +1 ; +1 ; +2 ; +3 ; +5 ; +8 ; +13 ; +21 ; …..

Proseguo riportando alla lettera le mia considerazioni di allora:

* Il quadrato di ogni numero è prossimo per una unità al prodotto del numero precedente per il successivo, con approssimazioni alternativamente per eccesso e per difetto.

** La somma dei quadrati di due numeri consecutivi è uguale ad un altro numero della serie, distante dalla coppia generatrice un numero di posti che nel caso della coppia (0;1) consideriamo zero; per tutte le altre coppie “verso sinistra” la distanza aumenta regolarmente e genera la serie dei numeri interi negativi; le coppie “verso destra” generano i numeri interi positivi.

………….
+2 ; -1 4+1= +5 (distanza : -3)
-1 ; +1 1+1= +2 (distanza : -2)
+1 ; 0 1+0= +1 (distanza: -1)
0 ; +1 0+1= +1 (distanza: 0)
+1; +1 1+1= +2 (distanza: +1)
+1; +2 1+4= +5 (distanza: +2)
+2; +3 4+9= +13(distanza: +3)
…………..

nella serie iniziale si vengono così a distinguere due classi di numeri: quelli che sono somma di due quadrati di numeri contigui della serie stessa, e quelli no (a questa seconda classe appartengono, è ovvio, tutti gli elementi negativi)

……+5 -3 +2 -1 +1 0 +1 +1 +2 +3 +5 +8 +13 +21 +34 +55 +89 ….

Consideriamo separatamente le due serie così generate, che chiamiamo

A
…+5 +2 +1 +1 +2 +5 +13 …

B
… -3 -1 0 +1 +3 +8 +21 +55 ….

Si osserva che in A il prodotto di due numeri consecutivi è sempre minore di tre unità rispetto al prodotto del termine immediatamente precedente per il termine successivo rispetto alla coppia di partenza.
In B al contrario il prodotto dei due numeri “interni” è maggiore di tre rispetto al prodotto dei due termini “esterni”


*** Da A generiamo la nuova serie C sommando le coppie di termini adiacenti

A … 5 2 1 1 2 5 13 34 89 233 …
C…… 7 3 2 3 7 18 47 123 322 ….

In C abbiamo che la somma di due termini aventi fra loro due numeri intercalati, è sempre un multiplo di 10
Il quadrato di un numero è sempre minore di 5 rispetto al prodotto del precedente per il successivo elemento della serie
Il prodotto di due numeri consecutivi è sempre minore di 15 rispetto al prodotto del termine precedente per il successivo

Generando da B una nuova serie D (come fatto da A), abbiamo

D: …-11 -4 -1 +1 +4 +11 +29 +76 +199 ….

Anche in D la somma di due termini separati da due posti è sempre multiplo di 10
Il quadrato di un termine della serie D è maggiore di 5 rispetto a prodotto del precedente per il successivo
Il prodotto di due termini consecutivi è maggiore di 15 rispetto al prodotto del numero precedente per il successivo.

Continuando a produrre successive generazioni di serie con lo stesso procedimento adottato prima dalla A e dalla B, dalle sequenze C e D otteniamo le nuove serie

E : ....10 5 5 10 25 65 170 445 …
F: …-11 -5 0 +5 +15 +40 +105 +275
che conservano la proprietà della “somma multiplo di 10”.
Lo scarto del quadrato rispetto al prodotto “prima x dopo” è di -25 / +25
Lo scarto del prodotto “interno” rispetto al prodotto “esterno” è di -75 / +75
Enrico

Bruno
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1096
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Messaggio da Bruno » sab gen 14, 2006 11:41 am

...

Enrico, grazie!
Non ho ancora letto la tua ricerca, ma intanto desidero ringraziarti per averla
condivisa con noi.

;) Bruno

Rispondi