Biliardo : spiegazione e soluzione cercasi.

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

peppe
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 840
Iscritto il: gio mag 26, 2005 1:41 pm
Località: Cirò Marina KR

Biliardo : spiegazione e soluzione cercasi.

Messaggio da peppe » lun nov 27, 2006 7:08 pm

Un biliardo perfetto e un colpo da maestro.

Immaginate di giocare a biliardo su un tavolo lungo tre metri e largo uno. Esso è costruito in maniera perfetta: quando una palla colpisce la sponda, l'angolo di incidenza è esattamente uguale a quello di riflessione. Inoltre il tavolo è orientato in modo che i lati corti siano in direzione nord-sud e quelli lunghi in direzione est-ovest.
La posizione di ciascuna palla è indicata con (x, y), dove x è la distanza in direzione est a partire dall'angolo sud-ovest del tavolo e y è la distanza verso nord a partire dallo stesso angolo.
C'è una buca in ogni angolo del tavolo, ma non ce ne sono lungo i lati.
Supponete di voler colpire una palla che si trova in posizione (2,0) per farla cadere nella buca di sud-ovest - ossia in posizione (0, 0) - ma un'altra palla impedisce un colpo diretto. L'alternativa più semplice sarebbe quella di far rimbalzare una volta la palla contro la sponda opposta, come si vede nell'illustrazione a.Basta dirigere la palla verso nord-ovest (con inclinazione -1) perché essa rimbalzi nella posizione (1, 1) e finisca direttamente nella buca. E anche facile vedere come si può inviare la palla nella stessa buca facendola rimbalzare per tre volte sulle sponde.
La si colpisce dirigendola a nord-nord-ovest (inclinazione -2) come mostra l'illustrazione b.
La palla rimbalzerà nelle posizioni (1,5 , 1), (1 , 0) e (0,5 , 1) prima di cadere nella buca.

Ma è possibile inviare la palla nella stessa buca facendola rimbalzare esattamente due volte?
Supponiamo che qualcuno scommetta una bella somma sul fatto che non riuscirete a eseguire il colpo.
Con quale inclinazione dovreste colpire la palla?

Fonte: Le Scienze n°415 marzo 2003 pag.96
All. foto Biliardo perfetto.jpg
+++
Sarà forse perché in vita mia non ho mai preso in mano una stecca da biliardo,ma il quesito non mi è chiaro e tanto meno la soluzione (che non ho perché non possiedo il fascicolo sul quale è riportata).
Qualcuno vuole spiegarmi cosa si intende per inclinazione -1,oppure -2? .
Grazie.
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

infinito
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 328
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:02 pm

Re: Biliardo : spiegazione e soluzione cercasi.

Messaggio da infinito » mar nov 28, 2006 12:55 am

peppe ha scritto:Qualcuno vuole spiegarmi cosa si intende per inclinazione -1,oppure -2?
credo ceh "inclinazione = coefficiente ancgolare", considerando il piano del biliardo come un rettangolo del piano cartesiano.

Allora la risposta non è poi così difficile: mi pare che non ci sia né trucco né inganno ...

Io l'ho risolto con un semplice artificio, ma comunque torna con calcoli molto facili e l'inclinazione è un razionale "banale".


Forza peppe: credo che con un minimo di convinzione tu sia perfettamente in grado di risolverlo!

Pasquale
Livello 11
Livello 11
Messaggi: 2312
Iscritto il: mer mag 25, 2005 1:14 am

Messaggio da Pasquale » mar nov 28, 2006 1:53 am

Peppe, il secondo disegno è uguale al primo, ma dai dati si capisce lo stesso.
Non ricordo se ho mai incontrato una definizione di inclinazione, ma trattasi certamente del coefficiente angolare, dal momento che nel primo esempio vien detto che la palla può essere mandata in buca facendola battere sulla sponda con un'inclinazione di -1.
Infatti, facendo riferimento al piano cartesiano, se la palla che si trova in 2,0 finisce in buca facendola bettere sul punto 1,1, significa che la traiettoria forma un angolo di 135° con il segmento fra 2,0 e 3,0, o se vuoi di 45° con il segmento fra 2,0 e 0,0, pari ad un angolo di -45° rispetto al segmento fra 2,0 e 3,0: è evidente che con la riflessione perfetta, la palla rimbalza con un altro angolo di 45° e finisce in buca.
Alla luce di quanto detto, per mandare la palla in buca facendole toccare 2 sponde, bisogna indirizzarla sulla sponda corta di destra, in modo che rimbalzi sulla sponda lunga alta e quindi si avvii nella buca 0,0: è evidente che bisogna trovare la giusta inclinazione (coefficiente angolare, o anche tangente dell'angolo che si forma fra la traiettoria e la sponda lunga bassa).
Tale traiettoria, è semplicissimo trovarla con l'artificio citato da Infinito, che non rivelo, per non toglierti il gusto di trovare la soluzione razionale del problema (se espressa in termini di inclinazione): ti suggerisco solo qualche specchio ed un po' di trigonometria.
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

peppe
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 840
Iscritto il: gio mag 26, 2005 1:41 pm
Località: Cirò Marina KR

Messaggio da peppe » mer nov 29, 2006 12:18 pm

...è evidente che bisogna trovare la giusta inclinazione ...
...che dipende dal coefficiente angolare m come è facile constatare .
Utilizzando Cabrijava è possibile visualizzare la costruzione delle varie rette al variare di m.

Dopo la mia solita cantonata...ora è tutto più chiaro...
...Peppe, il secondo disegno è uguale al primo...
Infatti...vorra dire che anche i redattori di "Le Scienze", di solito molto precisi,ogni tanto prendono la loro bella cantonata. Consolante! :cry:
...Io l'ho risolto con un semplice artificio...
Infinito

I giochi d'artificio sono la mia passione! Prof...dai fuoco alla miccia... :lol: :lol:
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

panurgo
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1159
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Messaggio da panurgo » dom dic 03, 2006 2:36 pm

Immagine
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

peppe
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 840
Iscritto il: gio mag 26, 2005 1:41 pm
Località: Cirò Marina KR

Messaggio da peppe » lun dic 04, 2006 11:00 am

Non c'è che dire!
Una dimostrazione lapalissiana!. Grazie!
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

panurgo
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1159
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Messaggio da panurgo » lun dic 04, 2006 12:14 pm

Quando ero al Liceo ho eseguito, assieme ai miei compagni di classe, approfonditi studi sugli urti elastici... durante le ore di scienze :twisted:
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

0-§
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 454
Iscritto il: ven nov 18, 2005 10:33 pm
Località: Bologna

Messaggio da 0-§ » lun dic 11, 2006 9:05 pm

Io durante un'ora di Italiano ho trovato che l'inclinazione per ottenere \displaystyle 2n rimbalzi é \displaystyle \frac {1}{3n-1},mentre per \displaystyle 2n-1 é banalmente \displaystyle -n;quanto alla distanza percorsa é data rispettivamente da \displaystyle 2\sqrt{9m^2-6m+2} e da \displaystyle 2\sqrt{1+m^2}.En passant,noto che la palla nel caso di \displaystyle 2n rimbalzi colpisce la sponda superiore nel punto P(2;1) se e solo se n é dispari,altrimenti nel punto (1;1);ad ogni modo,raggiunge il punto suddetto esattamente a metà del tragitto(se il numero di rimbalzi é \displaystyle 2n-1 trovare il punto medio del tragitto verso la buca diventa ridicolmente facile:(1;1) se n é dispari,(1;0) altrimenti).
D'accordo,non é niente di così sconvolgente,e tutto sommato si tratta di risultati assai semplici da ottenere,una volta trovata la soluzione per 1,2,3 e 4 rimbalzi(in tutto ciò sembra che il resto modulo quattro del numero di rimbalzi abbia una profonda rilevanza nello stabilire la traiettoria:qualcuno sa dimostrare il perché rapidamente e con pochi calcoli-o meglio ancora,senza?),ma volevo farvi sapere che io e il mio compagno di banco sappiamo adoperare le ore di lezione in maniera assai proficua :twisted:
E se anche voi avete un'ora morta,provate a tracciare le traiettorie della palla sul biliardo,armati di foglio a quadretti,portamine e goniometro con decimetro:c'é qualcosa di molto zen in questo lavoro...

Saluti!
Zerinf
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

0-§
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 454
Iscritto il: ven nov 18, 2005 10:33 pm
Località: Bologna

Messaggio da 0-§ » lun dic 11, 2006 10:12 pm

Dimenticavo:la possibilità di mandare la palla in un punto determinato(la buca posta all'origine degli assi di riferimento),per giunta dopo un numero a scelta di rimbalzi,deriva anche dal fatto che essa occupa un punto a coordinate razionali e che il coefficiente angolare é anch'esso razionale...
Non sembra una gran scoperta,ma i punti a coordinate irrazionali sul piano cartesiano possono creare grande imbarazzo,specie in questi problemi di riflessione.
Mi é appena venuta in mente questa chicca,dalle "Prove per l'ammissione alla Normale di Pisa",libro capace di fiaccare seduta stante ogni speranza di mettere piede nell'augusto ateneo:"Dato un punto P sulla superficie di un biliardo rettangolare,é sempre possibile trovare un'inclinazione di tiro tale per cui la palla posta su P e colpita con tale inclinazione non tornerà mai più per P stesso."
Si tratta di dimostrarlo,ovviamente...
Provateci,esiste una soluzione estremamente calcolosa(ma comunque bella) e una stupenda senza neanche un calcolo,frutto di un sapiente uso del "pensiero laterale".
Che ve ne pare?

Salumi,
Zerinf
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

franco
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 917
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Messaggio da franco » mar dic 12, 2006 1:06 pm

"specchiando" il biliardo è molto semplice individuare le traiettorie necessarie per imbucare la palla con un tiro a N sponde.
Nell'immagine allegata (se ci riesco) ho indicato in rosso tre differenti traiettorie per una buca in 6 sponde.
Allegati
biliardo.JPG
(51.5 KiB) Scaricato 702 volte

franco
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 917
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Messaggio da franco » mar dic 12, 2006 2:58 pm

Risposta laterale all'ultimo quesito di Zerinf:

per assicurarsi di non ripassare mai dal punto di partenza basta tirare diritto alla buca più comoda! :lol:

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1375
Iscritto il: mer mag 25, 2005 3:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 » mar dic 12, 2006 3:08 pm

benvenuto franco, 99esimo utente registrato !
Chi sfonda quota cento ?
Enrico

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1375
Iscritto il: mer mag 25, 2005 3:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 » mar dic 12, 2006 3:08 pm

benvenuto franco, 99esimo utente registrato !
Chi sfonda quota cento ?
Enrico

0-§
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 454
Iscritto il: ven nov 18, 2005 10:33 pm
Località: Bologna

Messaggio da 0-§ » mer dic 13, 2006 9:30 pm

franco ha scritto:"specchiando" il biliardo è molto semplice individuare le traiettorie necessarie per imbucare la palla con un tiro a N sponde.
Nell'immagine allegata (se ci riesco) ho indicato in rosso tre differenti traiettorie per una buca in 6 sponde.
Perbacco,franco!Anche io ero partito dalla riflessione del biliardo rispetto ai suoi lati,ma non ero arrivato a costruire una "tavola pitagorica" per i vari colpi e comunque non avevo sospettato la possibilità di utilizzare più metodi per un certo numero di rimbalzi!(Benvenuto sul forum anche da parte mia:certo che un tale ritmo di risposte é davvero un ingresso nel forum in pompa magna!)
Per quanto riguarda il problema della Normale,sappiate che la soluzione "geniale" si basa proprio sulla riflessione...
Buonanotte a tutti!
Zerinf
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

peppe
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 840
Iscritto il: gio mag 26, 2005 1:41 pm
Località: Cirò Marina KR

Messaggio da peppe » gio ott 18, 2007 11:06 am

Come si può osservare guardando la foto che trovate qui:
http://utenti.quipo.it/base5/ricevuto/ricago02.htm
il biliardo è VERDE e se ne lagna!

Le malinconie e il lamento del povero biliardo che non vuole più essere verde.
Verde come il tuo sguardo,o bella infida,
verde come l'erbe,
triste il bigliardo grida
queste parole acerbe:


- >.

* * *

Verde come il tuo sguardo,o bella infida,
verde come l'erbe,
triste il bigliardo grida
queste parole acerbe;

però siccome niuno mai l'ascolta
ei ripete il suo lagno un'altra volta:

-<< Son stufo d'esser verde! non ne posso
più d'aver sempre questo verde addosso!
Vorrei essere rosso,
rosso a modo dei gamberi! o se proprio
non si potesse rosso,
penso che starei bene
anche color dell'...ecc.ecc.

( E così da capo e di seguito fino alla consumazione dei secoli con gran gioia del lettore e dell'ascoltatore quando i secoli sono consumati...si paga la consumazione).

Ernesto Ragazzoni

Tratto da :
"Numero". Settimanale umoristico illustrato", 1914, n.3

che potete leggere qui:

http://dspace-unipr.cilea.it/simple-sea ... bmit=Cerca
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

Rispondi