Autoreferenzialità

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franco
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Autoreferenzialità

Messaggio da franco » dom mar 05, 2017 8:54 pm

A, B, C e D sono quattro numeri interi positivi maggiori di uno.

A è il massimo comune divisore di B, C e D
B è la media aritmetica di A, C e D
C è la radice quadrata di A*B*D
D è il prodotto di due degli altri numeri diviso per il terzo

Determinare il valore dei quattro numeri (senza PC, altrimenti è troppo facile :D )


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Franco

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Pasquale
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Re: Autoreferenzialità

Messaggio da Pasquale » lun mar 06, 2017 4:54 pm

Dopo aver riempito una pagina di equazioni sparpagliate su tutto un foglio, ho trovato che A=B=C=D=1 e poi riguardando il testo ho visto che 1 è escluso....peccato, tutto da rifare. :(
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Pasquale
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Re: Autoreferenzialità

Messaggio da Pasquale » lun mar 06, 2017 11:04 pm

OK, la cosa mi ha stuzzicato l'appetito e dunque, dopo vario scarabocchiare sono giunto a queste conclusioni:

1) \text B=AK_1; C=AK_2; D=AK_3

2) D=\frac{AC}{B}, in quanto le altre due possibili condizioni non mi portavano da nessuna parte ( \text D=\frac{AB}{C} oppure D=\frac{BC}{A})

Nella 2) sostituendo i valori della 1) si ottiene:

AK_3= \frac{A\cdot AK_2}{AK_1}, da cui:

3) K_2=K_1K_3 con cui riformulo la 1) nella:

4) \text B=AK_1; C=AK_1K_3; D=AK_3 e sapendo che:

5) C^2=ABD, sostituendovi i valori della 4), ne consegue che:

6) A=K_1K_3, che riferenziando la 4), porta a:

7) \text A=K_1K_3; B=K_1^2K_3; C=K_1^2K_3^2; D=K_1K_3^2

A questo punto subentra la condizione:

8 ) 3B=A+C+D, nella quale sostituendo i valori tratti dalla 7) si ottiene:

3K_1^2K_3=K_1K_3+K_1^2K_3^2+K_1K_3^2, da cui:

K_1(3-K_3)=K_3+1

Qui notiamo subito che \text K_3<1 e K_3>2 non sono accettabili e che fra i valori 1 e 2 solo il 2 soddisfa le condizioni 5) ed 8 ), per cui:

\text se K_3=2, allora K_1=3 e sostituendo tali valori nelle espressioni della 7), otteniamo:

A=6; B=18; C=36; D=12 :D

Molto particolare...grazie Franco.
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Re: Autoreferenzialità

Messaggio da franco » lun mar 06, 2017 11:33 pm

Grazie a te per la risposta!
Il problema arriva, come al solito, da diophante.fr e io ancora non avevo trovato il tempo per ragionarci.
Possiamo provare a scrivere la tua soluzione in francese e inviarla, oppure ce la teniamo per noi :D :D :D

Ciao
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Re: Autoreferenzialità

Messaggio da Pasquale » mar mar 07, 2017 10:38 am

Va bene, vedi tu cosa più ti aggrada. Nell'esposizione ho tralasciato alcuni passaggi di solo calcolo per evitare che si perdesse il filo del discorso e per avere tutto sotto controllo in poco spazio, rendendo il tutto più comprensibile (credo), ma chi vuole divertirsi può svilupparsi da solo i calcoli, peraltro semplici.
La difficoltà maggiore è stata quella di mettere ordine nelle idee e nel procedimento da seguire.
Adesso mi corre l'obbligo, per gli amanti del Decimal Basic, di confermare che la soluzione sarebbe stata troppo facile con l'uso del computer, che dunque era escluso. Infatti:

FOR x=1 TO 50
FOR y=1 TO 50
FOR z=1 TO 50
FOR a= 2 TO 50
LET b=a*x
LET c=a*y
LET d=a*z
IF a+c+d=3*b AND a*b*d=c^2 THEN
IF d=a*b/c OR d=a*c/b OR d=b*c/a THEN
PRINT a;b;c;d
goto 10
END IF
END IF
NEXT A
NEXT z
NEXT y
NEXT x
10
END

Naturalmente, sapendo già che i valori delle 4 variabili non arrivano a 100, ho fermato i cicli a 50, per ottenere prima un risultato, evitando inutili attese.
Per contro, se i valori fossero stati maggiori di un tot, questa strada non sarebbe stata perseguibile e magari sarebbero occorsi anni per ottenere un risultato.
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