"Aritmetica russa" - 10. potenza di 2

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Quelo
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"Aritmetica russa" - 10. potenza di 2

Messaggio da Quelo » mar ago 22, 2006 11:04 am

Potenza di 2

Tutti i numeri di 5 cifre, da 11111 a 99999 sono scritti su delle carte.
Queste carte sono allineate in un ordine arbitrario.
Dimostrare che il numero risultante, formato da 444445 cifre, non è una potenza di 2
(Simferopol, 1970)


Per ogni ordine di grandezza (e quindi per ogni numero m di cifre) ci sono da 3 a 4 potenze di 2:

Se 2^{\small{n}} ha log_{10}(2^{\small{n}})+1 cifre,

per m = 444445 si ha n = \frac{m-1}{log_{10}(2)} = 1476411,01

le potenze di 2 con 444445 cifre hanno come esponenti i numeri 1476412, 1476413, 1476414 e possiamo calcolarle considerando che

2^{\small{n}} = X \cdot 10^{\small{m}}

n \cdot log_{10}(2) = log_{10}(X)+m \cdot log_{10}(10)

X = 10^{n \cdot log_{10}(2)-m}

2^{\small{1476412}} = 1,9859\,03996\,52092 \,\cdot\, 10^{\small{444444}}

2^{\small{1476413}} = 3,9718\,07993\,04185 \,\cdot\, 10^{\small{444444}}

2^{\small{1476414}} = 7,9436\,15986\,08370 \,\cdot\, 10^{\small{444444}}

Si vede subito che questi numeri contengono gruppi di 5 cifre che cominciano con lo zero, non presenti nelle "carte" da 11111 a 99999.

Lascio uno spunto per una dimostrazione un po' più raffinata

Proviamo a sommare tutte le cifre presenti sulle carte, sappiamo che nei numeri da 11111 a 99999 la cifra 1 compare 44445 volte, mentre le cifre da 2 a 9 compaiono 45679 volte, quindi la somma di tutte le cifre è data da:

\displaystyle 44445+44 \cdot 45679=2054321

questo numero non è divisibile per 3, invece lo è 2054322, ciò significa se il numero di 444445 cifre che compare sulle carte è pari (se fosse dispari non potrebbe essere ovviamente potenza di 2), il successivo è multiplo di 3.

Sappiamo che per n pari 2^{\small{n}}+1 non è multiplo di 3, quindi possiamo escludere due delle potenze di 2 sopra trovate e rimane da elimanare l'ultima possibilità: 2^{\small{1476413}}

Qui mi sono fermato, qualche idea ?

[Quelo]
Sergio

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Quelo
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Re: "Aritmetica russa" - 10. potenza di 2

Messaggio da Quelo » sab mar 02, 2013 8:29 pm

Finalmente ho chiuso il cerchio (o almeno credo):

Osserviamo che la radice numerica r(n) delle potenze di 2 si presenta con una sequenza fissa con periodicità di 6: 1,2,4,8,7,5

2^0 = 1 - r(n) = 1
2^1 = 2 - r(n) = 2
2^2 = 4 - r(n) = 4
2^3 = 8 - r(n) = 8
2^4 = 16 - r(n) = 1+6 = 7
2^5 = 32 - r(n) = 3+2 = 5
2^6 = 64 - r(n) = 6+4 => 1+0 = 1
2^7 = 128 - r(n) = 1+2+8 => 1+1 = 2
2^8 = 256 - r(n) = 2+5+6 => 1+3 = 4
2^9 = 512 - r(n) = 5+1+2 => 8
2^10 = 1024 - r(n) = 1+0+2+4 = 7
2^11 = 2048 - r(n) = 2+0+4+8 => 1+4 = 5
2^12 = 4096 - r(n) = 4+0+9+6 => 1+9 = 1+0 = 1
...

Risulta pertanto, per 2^n

n \equiv 0\ \pmod{6} \;\; r(n) = 1

n \equiv 1\ \pmod{6} \;\; r(n) = 2

n \equiv 2\ \pmod{6} \;\; r(n) = 4

n \equiv 3\ \pmod{6} \;\; r(n) = 8

n \equiv 4\ \pmod{6} \;\; r(n) = 7

n \equiv 5\ \pmod{6} \;\; r(n) = 5

Per quanto riguarda le potenze di 2 individuate in precedenza abbiamo

1476412 \equiv 4\ \pmod{6} \;\; r(n) = 7

1476413 \equiv 5\ \pmod{6} \;\; r(n) = 5

1476414 \equiv 0\ \pmod{6} \;\; r(n) = 1

mentre la radice numerica del numero formato da tutte le carte vale:

r(n) = 2+0+5+4+3+2+1 \;=>\; 1+7 = 8

che non corrisponde alle potenze di cui sopra.

SE&O

--- aggiornamento ---

Ho sostituito la "somma reiterata" con la più appropriata terminologia "radice numerica"
Sergio

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