Aritmetica poligonale (2)

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Aritmetica poligonale (2)

Messaggio da franco » sab ott 29, 2016 5:07 pm

Le dimensioni dei lati di un pentagono sono numeri interi tali che ciascuno di loro è un divisore della somma degli altri quattro.
Dimostrare che almeno due dei lati del pentagono sono uguali ovvero che le cinque dimensioni distinte dei lati sono proporzionali a un'unica "cinquina" di interi.

A486. Les dimensions des côtés d’un pentagone (non aplati) sont des nombres entiers tels que l’une quelconque d’entre elles divise la somme des quatre autres. Démontrer que deux côtés au moins sont égaux ou bien que les dimensions distinctes des côtés sont proportionnelles à celles d’un quintuplet primitif unique.
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Re: Aritmetica poligonale (2)

Messaggio da Pasquale » lun ott 31, 2016 1:03 am

Utilizzando 5 segmenti tutti diversi fra loro, ad esempio con dimensioni e sequenza 3,10,20,12,15, sarebbe rispettata la condizione secondo cui ogni numero è divisore della somma degli altri quattro. E' possibile costruire un pentagono con tali misure?
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Re: Aritmetica poligonale (2)

Messaggio da franco » lun ott 31, 2016 6:53 am

Perché si possa costruire un pentagono, il lato più lungo deve avere la dimensione strettamente inferiore alla somma degli altri quattro; quindi direi che questa è la cinquina a cui fa riferimento la seconda parte della domanda.
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Re: Aritmetica poligonale (2)

Messaggio da Pasquale » mar nov 01, 2016 3:21 am

Pardon, non avendo compreso appieno il concetto di strettamente inferiore, ho deciso di verificare praticamente la possibilità di costruire un pentagono con le suddette misure, utilizzando carta, forbici e colla.
A parte le piccole imprecisioni di incollaggio, al quale son dovuto ricorrere per realizzare una scansione del manufatto, onde ricavarne un file immagine, posso assicurare che non mi è risultato difficile ottenere il disegno che segue, trattandosi solo di individuare sperimentalmente le giuste posizioni ed angolazioni dei lati, ai quali nel caso specifico ho cambiato casualmente la sequenza delle misure in 3,10,12,15,20, ma penso che altre sequenze siano egualmente valide.
Pentagono.JPG
Pentagono.JPG (11.85 KiB) Visto 1178 volte
E' comunque evidente che non può costruirsi un pentagono, se la somma dei lati minori è minore o uguale alla lunghezza del lato maggiore.
Non ho capito invece cosa si chiede di dimostrare nella seconda riga del quesito: se i lati non sono tutti diversi, è chiaro che almeno 2 debbano essere uguali, ma se sono tutti diversi (3,10,12,15,20), in che senso ogni lato è proporzionale all'unica cinquina? La somma è 60 e di tale somma 3=1/20; 10=1/6; 12=1/5; 15=1/4; 20=1/3, cioè ogni lato è divisore oltre che della somma degli altri 4, anche della somma dei 5?
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