Area aleatoria
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Area aleatoria
Oggi in classe durante l'extratime "divagazioni matematiche" un allievo ha posto un non improponibile quesito.
Dato un triangolo equilatero, si consideri un punto assolutamente a caso all'interno di esso, denotiamo tale punto come H.
Congiungiamo adesso H ai 2 vertici ad esso più lontani del triangolo in questione, denotiamoli come A e B.
Si genera così un triangolo ABH dall'area indefinita.
Qual è la probabilità che tale area sia maggiore di quella del cerchio inscrittibile nell'equilatero di partenza ?
Dato un triangolo equilatero, si consideri un punto assolutamente a caso all'interno di esso, denotiamo tale punto come H.
Congiungiamo adesso H ai 2 vertici ad esso più lontani del triangolo in questione, denotiamoli come A e B.
Si genera così un triangolo ABH dall'area indefinita.
Qual è la probabilità che tale area sia maggiore di quella del cerchio inscrittibile nell'equilatero di partenza ?
Re: Area aleatoria
Qualunque punto giacente nel triangolo $\text { AB }^{ \small \prime }\!\text{ C }^{ \small \prime }$ determina, con la base $\text{ BC }$, un triangolo con area maggiore del cerchio inscritto.
Assegnando una probabilità di cadere nel triangolo piccolo proporzionale al rapporto tra l'area di questo e l'area del triangolo grande abbiamo la risposta: tre volte l'area del triangolo piccolo diviso l'area del triangolo grande.
I triangoli sono simili, le aree sono proporzionali al quadrato delle rispettive altezze:
$\displaystyle 3 \left( \frac { \frac { \sqrt { 3 }} { 2 } - \frac { \pi } { 6 }} { \frac { \sqrt { 3 }} { 2 }} \right)^{ \small 2 } = 0,469\ldots$
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: Area aleatoria
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Ultima modifica di Massimo il ven gen 17, 2014 11:32 am, modificato 3 volte in totale.
uno più uno non fa sempre due
Re: Area aleatoria
la bella spiegazione di Panurgo prende in considerazione i tre triangoli grigi.
Che non mi sembra si sovrappongano...
Che non mi sembra si sovrappongano...
Enrico
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Re: Area aleatoria
Lo stesso ragionamento di Panurgo, lo abbiamo adottato noi in classe
per la risoluzione del quesito,nel triangolo si formano 3 zone (triangoli) ben distinte, entro le quali, qualsiasi punto
genera un triangolo con area superiore a quella della circonferenza.per esclusione tutti gli altri punti danno luogo
a triangoli di area inferiore.
Ciao
per la risoluzione del quesito,nel triangolo si formano 3 zone (triangoli) ben distinte, entro le quali, qualsiasi punto
genera un triangolo con area superiore a quella della circonferenza.per esclusione tutti gli altri punti danno luogo
a triangoli di area inferiore.
Ciao
Re: Area aleatoria
Questa non è l'unica scelta possibile.panurgo ha scritto:Assegnando una probabilità di cadere nel triangolo piccolo proporzionale al rapporto tra l'area di questo e l'area del triangolo grande
Per esempio consideriamo un punto (assolutamente a caso), all'interno del triangolo equilatero di lato $1$, così definito: prendiamo tre numeri casuali, $\left( x; y; z \right)$, da una distribuzione uniforme e calcoliamo le distanze dai tre lati $a$, $b$ e $c$ del triangolo
$\displaystyle \left \{ \begin{array}{lC} d_{ \small a } = \frac { x } { x + y +z } \times \frac { \sqrt { 3 }} { 2 } \\ d_{ \small b } = \frac { y } { x + y +z } \times \frac { \sqrt { 3 }} { 2 } \\ d_{ \small c } = \frac { z } { x + y +z } \times \frac { \sqrt { 3 }} { 2 } \end{array} \right.$
profittando del fatto che in un triangolo equilatero la somma delle distanze di un punto interno dai lati è pari all'altezza del triangolo stesso (teorema di Viviani).
Quanto vale ora la probabilità di ottenere un triangolo di area maggiore di quella del cerchio inscritto?
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
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Re: Area aleatoria
Come piccolo suggerimento vi mostro graficamente il risultato di una simulazione siffatta: a) simulo $x$, $y$ e $z$ da una distribuzione uniforme tra $0$ e $1$, b) calcolo $d_{ \small a }$, $d_{ \small b }$ e $d_{ \small c }$ e c) conto quante volte il maggiore dei tre supera $\pi/6$
P.S.: la statistica mi dà $0,21389\ldots$
P.S.: la statistica mi dà $0,21389\ldots$
il panurgo
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Re: Area aleatoria
Vi darò un altro piccolo aiutino...
il panurgo
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Re: Area aleatoria
Se pescassi 3 biglie con ripetizione, da un'urna di k biglie(numerate in successione da 1 a k)
e abbinassi i 3 valori estratti a x, y, z, troverei a partire da k=4,che la probabilità cercata vale:
$\frac{4k^2-15k+9}{18k^2}$
per k grande il "discreto" tende al continuo e si ottiene P=2/9
sempre che data l'ora, non stia sparandola grossa come spesso accade...
beh,bontà vostra,in tal caso,rimettetemi su una via più consona
e abbinassi i 3 valori estratti a x, y, z, troverei a partire da k=4,che la probabilità cercata vale:
$\frac{4k^2-15k+9}{18k^2}$
per k grande il "discreto" tende al continuo e si ottiene P=2/9
sempre che data l'ora, non stia sparandola grossa come spesso accade...
beh,bontà vostra,in tal caso,rimettetemi su una via più consona
Re: Area aleatoria
Cara sTella_ikoNa, con il mio piccolo trucco ho solo cercato modo semplice di ottenere una distribuzione non uniforme sul triangolo equilatero.
Una terna ordinata, $\left( x; y; z \right)$, di numeri reali rappresenta un punto $\text P$ nello spazio cartesiano tridimensionale (in un cubo unitario se i numeri sono compresi tra $0$ e $1$)
L’operazione di dividere le coordinate per la loro somma rende equivalenti tra loro tutti i punti che hanno le coordinate in egual proporzione, $\left( k \cdot x; k \cdot y; k \cdot z \right)$, e giacciono perciò sulla retta $\text{ OP }$.
Si tratta quindi della proiezione di $\text P$ su una superficie a somma costante, perpendicolare alla diagonale principale del cubo unitario
La superficie qui rappresentata è una superficie a somma $1$, ma qualunque superficie parallela ad essa va bene perchè cambiare superficie corrisponde ad una omotetia e le proporzioni sono salvaguardate.
Con il mio “piccolo aiutino”
volevo suggerire come nasceva la differenza di densità tra i diversi punti del triangolo: la lunghezza del segmento staccato del cubo sulle diverse rette è una misura della densità di punti che vengono proiettati in un determinato punto sul triangolo; le tre regioni in cui il triangolo appare suddiviso dagli spigoli del cubo raccolgono ciascuna le proiezioni dei punti che giacciono sulle rette uscenti dalle tre facce del cubo stesso, e più ci si avvicina alla diagonale principale più lungo è il segmento.
Osserviamo la figura successiva
tutti i punti contenuti nella piramide rovesciata vengono proiettati nel triangolino evidenziato. E per questo, possiamo assegnare il valore del rapporto tra il volume della piramide e quello del cubo come probabilità di cadere in uno dei triangolini utili.
Segnamo ora sulla figura le misure dei segmenti
La piramide rovesciata è un quarto di una piramide a base quadrata di altezza $1$ e lato di base $d^{ \small \prime \prime }$ e il suo volume è $d^{ \small \prime \prime 2} / 12$: siccome vi sono tre triangolini utili (e tre piramidi) e il volume del cubo vale $1$ la probabilità cercata vale $d^{ \small \prime \prime 2} / 4$.
Non ci resta che misurare $d^{ \small \prime \prime }$.
Anche nello spazio tridimensionale Talete è Talete: parallele e trasversali ci dicono che
$\displaystyle \frac { d^{ \small \prime }} { d } = \frac { 1 - \alpha } { 1 }$
e
$\displaystyle \frac { d^{ \small \prime \prime }} { d^{ \small \prime }} = \frac { 1 } { \alpha }$
Con pochi passaggi di facile algebra si trova
$\displaystyle d^{ \small \prime \prime } = d\, \frac { d^{ \small \prime } / d } { 1 - d^{ \small \prime } / d }$
Ricaviamo il rapporto $d^{ \small \prime } / d$ dalla figura del mio primo post
qui andrebbe questa immagine
ponendo $d = \overline{ \text{ BC }}$ e $d^{ \small \prime } = \overline{ \text{ B }^{ \small \prime }\! \text{ C }^{ \small \prime }}$: l’area del cerchio inscritto è $\pi\, \left( \frac { \sqrt { 3 }} { 6 } d \right)^{ \small 2 } = \frac { \pi } { 12 }\, d^{ \small 2 }$ e l’altezza del triangolo tratteggiato è $h = \frac { \pi } { 6 }\, d$ quindi
$\displaystyle \frac { d^{ \small \prime }} { d } = \frac { \frac { \sqrt { 3 }} { 2 } d - \frac { \pi } { 6 } d} { \frac { \sqrt { 3 }} { 2 } d } = 1 - \frac { \pi } { \sqrt { 27 }}$
E
$\displaystyle d^{ \small \prime \prime } = d\, \frac { \sqrt { 27 } - \pi } { \pi } = \sqrt { 2 }\, \frac { \sqrt { 27 } - \pi } { \pi }$
(il secondo passaggio perché $d$ è la diagonale di un quadrato unitario).
Sostituendo il valore di $d^{ \small \prime \prime }$ otteniamo la probabilità
$\displaystyle \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \sqrt { 27 } - \pi } { \pi } \right)^{ \small 2 } = 0,21384\ldots$
P.S.: potresti spiegarmi il tuo ragionamento?
Una terna ordinata, $\left( x; y; z \right)$, di numeri reali rappresenta un punto $\text P$ nello spazio cartesiano tridimensionale (in un cubo unitario se i numeri sono compresi tra $0$ e $1$)
L’operazione di dividere le coordinate per la loro somma rende equivalenti tra loro tutti i punti che hanno le coordinate in egual proporzione, $\left( k \cdot x; k \cdot y; k \cdot z \right)$, e giacciono perciò sulla retta $\text{ OP }$.
Si tratta quindi della proiezione di $\text P$ su una superficie a somma costante, perpendicolare alla diagonale principale del cubo unitario
La superficie qui rappresentata è una superficie a somma $1$, ma qualunque superficie parallela ad essa va bene perchè cambiare superficie corrisponde ad una omotetia e le proporzioni sono salvaguardate.
Con il mio “piccolo aiutino”
volevo suggerire come nasceva la differenza di densità tra i diversi punti del triangolo: la lunghezza del segmento staccato del cubo sulle diverse rette è una misura della densità di punti che vengono proiettati in un determinato punto sul triangolo; le tre regioni in cui il triangolo appare suddiviso dagli spigoli del cubo raccolgono ciascuna le proiezioni dei punti che giacciono sulle rette uscenti dalle tre facce del cubo stesso, e più ci si avvicina alla diagonale principale più lungo è il segmento.
Osserviamo la figura successiva
tutti i punti contenuti nella piramide rovesciata vengono proiettati nel triangolino evidenziato. E per questo, possiamo assegnare il valore del rapporto tra il volume della piramide e quello del cubo come probabilità di cadere in uno dei triangolini utili.
Segnamo ora sulla figura le misure dei segmenti
La piramide rovesciata è un quarto di una piramide a base quadrata di altezza $1$ e lato di base $d^{ \small \prime \prime }$ e il suo volume è $d^{ \small \prime \prime 2} / 12$: siccome vi sono tre triangolini utili (e tre piramidi) e il volume del cubo vale $1$ la probabilità cercata vale $d^{ \small \prime \prime 2} / 4$.
Non ci resta che misurare $d^{ \small \prime \prime }$.
Anche nello spazio tridimensionale Talete è Talete: parallele e trasversali ci dicono che
$\displaystyle \frac { d^{ \small \prime }} { d } = \frac { 1 - \alpha } { 1 }$
e
$\displaystyle \frac { d^{ \small \prime \prime }} { d^{ \small \prime }} = \frac { 1 } { \alpha }$
Con pochi passaggi di facile algebra si trova
$\displaystyle d^{ \small \prime \prime } = d\, \frac { d^{ \small \prime } / d } { 1 - d^{ \small \prime } / d }$
Ricaviamo il rapporto $d^{ \small \prime } / d$ dalla figura del mio primo post
qui andrebbe questa immagine
ponendo $d = \overline{ \text{ BC }}$ e $d^{ \small \prime } = \overline{ \text{ B }^{ \small \prime }\! \text{ C }^{ \small \prime }}$: l’area del cerchio inscritto è $\pi\, \left( \frac { \sqrt { 3 }} { 6 } d \right)^{ \small 2 } = \frac { \pi } { 12 }\, d^{ \small 2 }$ e l’altezza del triangolo tratteggiato è $h = \frac { \pi } { 6 }\, d$ quindi
$\displaystyle \frac { d^{ \small \prime }} { d } = \frac { \frac { \sqrt { 3 }} { 2 } d - \frac { \pi } { 6 } d} { \frac { \sqrt { 3 }} { 2 } d } = 1 - \frac { \pi } { \sqrt { 27 }}$
E
$\displaystyle d^{ \small \prime \prime } = d\, \frac { \sqrt { 27 } - \pi } { \pi } = \sqrt { 2 }\, \frac { \sqrt { 27 } - \pi } { \pi }$
(il secondo passaggio perché $d$ è la diagonale di un quadrato unitario).
Sostituendo il valore di $d^{ \small \prime \prime }$ otteniamo la probabilità
$\displaystyle \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \sqrt { 27 } - \pi } { \pi } \right)^{ \small 2 } = 0,21384\ldots$
P.S.: potresti spiegarmi il tuo ragionamento?
il panurgo
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- Iscritto il: ven nov 29, 2013 9:42 am
Re: Area aleatoria
Finalmente oggi ho avuto un pò di tempo per riprendere in mano il quesito.
In soldoni e in breve
dato che,ad esempio per la x:
$\Large\frac{x\sqrt3}{2(x+y+z)}>\frac{\pi}{6}$
si ricava:
$\Large\,x(sqrt27-\pi)-y\pi-z\pi>0$
Posto; $\Large\frac{x(sqrt27-\pi)}{\pi} = 0.654x$
La porzione di spazio interessata,risulta essere:
$\Large\int_0^1\int_0^{0.654x}\int_0^{0.654x-y}\,dx\,dy\,dz$
Il valore dell'integrale triplo 0.07128 va moltiplicato per 3,dato che il
ragionamento si estende anche a y e z,ottenendo appunto 0.2138.
Il risultato ottenuto la scorsa volta era da intendersi approssimato,avendolo ottenuto
da una serie infinita,ove i termini erano stati razionalizzati in maniera grossolana.
Ciao
In soldoni e in breve
dato che,ad esempio per la x:
$\Large\frac{x\sqrt3}{2(x+y+z)}>\frac{\pi}{6}$
si ricava:
$\Large\,x(sqrt27-\pi)-y\pi-z\pi>0$
Posto; $\Large\frac{x(sqrt27-\pi)}{\pi} = 0.654x$
La porzione di spazio interessata,risulta essere:
$\Large\int_0^1\int_0^{0.654x}\int_0^{0.654x-y}\,dx\,dy\,dz$
Il valore dell'integrale triplo 0.07128 va moltiplicato per 3,dato che il
ragionamento si estende anche a y e z,ottenendo appunto 0.2138.
Il risultato ottenuto la scorsa volta era da intendersi approssimato,avendolo ottenuto
da una serie infinita,ove i termini erano stati razionalizzati in maniera grossolana.
Ciao