Anello e manette

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leandro
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Anello e manette

Messaggio da leandro »

Immagine
"Le due figure qui sopra indicano due insiemi A,B ciascuno
costruito utilizzando due corpi, "anello" e "manette".
I due corpi (tridimensionali e "pieni") sono realizzati con un
materiale illimitatamente elastico.
L'insieme B può essere ottenuto dall'insieme A mediante
sole deformazioni elastiche (cioè senza tagli, fori o incollature).
Indicare come, disegnando le varie fasi in sequenza."
-------------------------------------------------------------------------------------------
Non ho idea di come farlo (forse per i miei scarsi studi di Topologia,
ammesso che si tratti di questo) e pertanto lo affido a voi giusto
per divertimento, dato che puo' essere complicato postare le diverse figure
che occorrera' disegnare.

Leandro

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Messaggio da Admin »

Ciao Leandro,
non saprei come risolvere il problema, però colgo l'argomento per postare un problema molto simile al tuo presente su uno dei volumi di Gardner;
sul volume è riportata anche la soluzione che però non ho mai capito;

ecco il problema e la soluzione presente sul volume:

Immagine

Si tratta di separare i due "oggetti chiusi" senza tagliarli.

La soluzione riportata da Gardner è la seguente:

"le curve possono essere separate facendo passare la curva ritorta attraverso se stessa nel punto A"

Come si fa?

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giobimbo
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Messaggio da giobimbo »

Premesso che anche il problema delle manette viene da Martin Gardner, vedi la sua rubrica nei numeri 140 e 141 della rivista "Le Scienze", bisogna dire che a causare la perplessità di Admin è il fatto che nell'edizione italiana manca la parola "taglio". Difatti, la didascalia originale, tratta dal libro "Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions" recita:

Interlocked curves that can be separated without passing one through an
opening in the other. The curves at the top may be separated by passing the
twisted curve through a cut in itself at A, then rejoining the ends.

Siccome l'inglese Pietro lo sa, non sto a ritradurre in italiano, ma piuttosto vorrei fare un riassunto a beneficio degli interessati che però non conoscono il problema.
Gardner parla di anelli agganciati tra loro, tipo gli anelli di una catena, che per essere liberati richiedono l'apertura di un anello e il passaggio dell'altro attraverso questa apertura. Ma, aggiunge poi, due curve chiuse possono essere agganciate in modo che la loro liberazione non richieda tale operazione, e qui cita l'esempio della figura. Nella figura, scrive, bisogna sempre aprire una curva ma a passare attraverso l'apertura stavolta non è l'altra curva ma la stessa curva in cui si è fatto il taglio. Nel punto A si incrociano due pezzi della curva intrecciata, uno passa sopra l'altro; dopo l'operazione di taglio e saldatura i due pezzi passano uno sotto l'altro e le due curve sono ora libere.

Di mio faccio notare che, a compensazione del comportamento anomalo delle due curve, se tagliamo una delle due e facciamo passare l'altra nell'apertura, dopo la saldatura del taglio le curve stavolta sono ancora agganciate...

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Messaggio da Admin »

Giobimbo,
ti ringrazio per la delucidazione;

col taglio il gioco perde un pò del suo interesse;
però resta sempre il fatto che il punto A è l'unico in cui si può effettuare il taglio e riunire le estremità dall'altra parte della curva, che permette di liberare le due curve.

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giobimbo
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Messaggio da giobimbo »

Ehm... La simmetria "alterna" della curva intrecciata dovrebbe fare sospettare che quello che succede manipolando il punto A forse succede anche manipolando il punto B ad esso simmetrico...

Gardner non stava proponendo un gioco, stava dando degli esempi ad illustrare quanto diceva; purtroppo il taglio della parola "taglio" nella traduzione italiana ha dato un'aura di mistero al tutto, facendo credere appunto che ci fosse un problema da risolvere :?
Ero rimasto ingannato anch'io.

Nei libri di Keith Devlin "Dove va la matematica" e "I problemi del millennio" c'è un altro enigma topologico: un paio di manette come quelle disegnate da Leandro (e fatte con lo stesso materiale) ma con i due bracciali agganciati. Senza tagli e senza strappi si possono liberare.

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Messaggio da Admin »

Si,
quando ho detto "il punto A" mi riferivo ad uno dei due simmetrici punti, dato che nella figura non vi è un pallino, ma solo la lettera A che può indicare sia il punto più a sinistra sia quello a destra.

Intendevo dire il fatto che, ad es. se taglio la curva non ritorta in prossimità dell'altra curva e poi la riunisco al di fuori dell'altra curva, essa resta sempre concatenata alla curva ritorta.

Questo fatto non è poi tanto banale.

Il problema potrebbe essere:

Liberare le due curve, supponendo che sia possibile effettuare un attraversamento di una curva nell'altra o in un pezzo di se stessa.

Ciao
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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Scusate, non ho capito molto: in riferimento al disegno di Leandro, ove si chiede di passare dalla configurazione A a quella B, cosa è stato concluso?
Nella figura B si vede una manetta liberata, ma se questo fosse possibile, allora anche la seconda potrebbe essere liberata, il che è una cosa impossibile, trattandosi di due curve chiuse concatenate.
E' a questa circostanza che si riferisce la questione del testo sbagliato?
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giobimbo
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Messaggio da giobimbo »

Nessuno ha finora risolto il problema di Leandro, ma si può fare, vedi il numero 141 della rivista "Le Scienze", che immagino disponibile in qualche biblioteca universitaria, oppure il libro di Gardner "The Last Recreations". Se non resisti ad aspettare una risposta sul forum mandami un messaggio privato.

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Messaggio da Admin »

Ciao Pasquale,
il testo sbagliato non si riferisce alle "manette", ma al problema simile da me postato subito sotto.

x giobimbo

Anch'io sono molto curioso della soluzione, di cui non ho la minima idea;
penso che ormai, essendo passato quasi un mese dall'invio del messaggio, tu possa postare qui la soluzione.
O vuoi farci penare ancora un pò? :)

Ciao
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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Mah, per me....salvo giochi di parole o cose strane, tipo iperspazio o buchi neri....
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giobimbo
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Messaggio da giobimbo »

Lungi da me l'intenzione di far soffrire delle creature di Dio, solo mi sembrava antipatico usare soluzioni copiate da un libro. Qui c'è l'attenuante che neanche Leandro sa come si fa, ritengo quindi non sia troppo irrispettoso mandare la spiegazione. Il problema di Devlin si risolve allo stesso modo, basta immaginare che l'anello grande sia l'altro bracciale delle manette.
Allegati
manette.jpg
manette.jpg (33.08 KiB) Visto 8998 volte

Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Mi pare che sia una cosa teorica che cambia le carte in tavola, altrimenti al massimo si arriverebbe qui, senza risolvere il problema:

Immagine

Comunque, a parte il fatto che devo provare con una gomma americana ben masticata, penso che quella indicata non sia la soluzione ad un reale problema, ma un'esemplificazione di un qualche discorso sulla topologia.
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Messaggio da Admin »

Grazie Giobimbo per la soluzione.

Davvero interessante!

In effetti la figura con la soluzione non da l'idea dell'elasticità del materiale, per cui alcuni passaggi non si capiscono.

In pratica considerando il passaggio 2, dobbiamo immaginare di tirare la parte evidenziata in figura secondo le frecce:

Immagine

fino ad ottenere ciò:

Immagine

ossia il passaggio 4 della figura di Giobimbo;
procedendo allo stesso modo si giunge al passaggio 6 finale.

Ciao
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