Ancora un pò di geometria.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Jumpy94
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Ancora un pò di geometria.

Messaggio da Jumpy94 » mar mag 22, 2007 6:46 pm

Questa estate ho raccolto una marea di materiale di matematica ricreativa, ma non ho molto tempo per dedicarmi completamente a loro (anche i professori vogliono la loro parte). Tra questi quesiti raccolti ne ho alcuni senza soluzione tra cui il seguente che sembra semplice ma non mi viene ancora di risolverlo (entro domani sono sicuro sarà da voi divorato :lol: :lol: ).
La figura è un quadrato dove viene data la lunghezza dei tre segmenti (DF=2,AF=4,FB=6) e si richiede la misura in gradi dell'algolo \alpha. Non so se sia stato inutile ma mi sono calcolato FE che mi pare essere 2\sqr 6.

P.S.: non fidatevi della figura...anche se è inutile dirlo.
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Messaggio da Jumpy94 » mar mag 22, 2007 7:50 pm

Non so se sia esatto ma io mi trovo un qualcosa del genere:
\alpha=75^o21'40''+59^o38'19''
questo perché ho calcolato indipendentemente due parti dell'angolo, comunque ora non ho tempo per riportare i miei calcoli ma aspetto vostre risposte.



Ciao.
Giampietro
Nardone.
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Messaggio da Pasquale » mer mag 23, 2007 3:15 am

A me risulta, con buona approssimazione e salvo errori, 145° 26' 48",48, con il lato del quadrato arrotondato a 5,76
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Messaggio da Jumpy94 » mer mag 23, 2007 8:40 am

Non ho fatto approssimazioni, per cui il lato credo sia precisamente \sqr{8\sqr{2}+20}, ma mi piacerebbe sapere come hai fatto.

Ciao.
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Messaggio da Pasquale » mer mag 23, 2007 12:31 pm

Appena posso metto in bella copia il procedimento e controllo i calcoli.
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Messaggio da Admin » mer mag 23, 2007 12:52 pm

Salve,
ho verificato, e concordo con jumpy;
il lato del quadrato è pari a: \sqrt{8\sqrt{2}+20};

lo si può calcolare in vari modi;

Consideriamo la figura:
Immagine

poniamo \overline{FM}=x

in sintesi si ha:

\overline{AM}=\sqrt{4^2-x^2}
\overline{MB}=\sqrt{6^2-x^2}
\overline{AB}=\overline{AM}+\overline{MB}=\sqrt{4^2-x^2}+\sqrt{6^2-x^2}
\overline{AM}=\overline{FN}
\overline{FM}=\overline{NA}
\overline{DN}=\sqrt{2^2-4^2+x^2}=\sqrt{x^2-12}
\overline{DA}=\overline{DN}+\overline{NA}=\sqrt{x^2-12}+x

uguagliando \overline{DA} e \overline{AB} si ottiene:

\overline{DA}=\overline{AB}
\sqrt{x^2-12}+x=\sqrt{4^2-x^2}+\sqrt{6^2-x^2}

da cui semplificando si ottiene una equazione in x;
tuttavia, io l'ho data in pasto a Derive! :wink:

che mi ha gentilmente restituito:

x = \sqrt{\frac{16\sqrt{2}}{17} + \frac{232}{17}}

quindi sostituendo ci calcoliamo il lato del quadrato, che vale:

\overline{DA}=\sqrt{x^2-12}+x=\sqrt{8\sqrt{2}+20}

una volta noto il lato del quadrato è facile calcolare l'angolo in questione col teorema di Carnot:

cos \alpha=\frac{\overline{DF}^2+\overline{FA}^2-\overline{DA}^2}{2\overline{DF}\overline{FA}}=\frac{2^2+4^2-8\sqrt 2 -20}{2\cdot 2\cdot 4}=-\frac{\sqrt 2}{2}

cos \alpha = -\frac{\sqrt 2}{2} \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{3\pi}{4} = 135^\circ

Ciao
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Messaggio da Jumpy94 » mer mag 23, 2007 2:17 pm

Purtroppo non conosco ancora il teorema di Carnot, per questo il mio calcolo dell'angolo è circa uguale al tuo Admin (quest'ultimo impeccabile ovviamente, e ringrazio anche io il fedele DERIVE). Si può ritenere chiuso il problema.
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Messaggio da Admin » mer mag 23, 2007 2:38 pm

Ciao Jumpy,
il fatto che tu non conosca ancora il teorema di Carnot non vuol dire che tu non possa impararlo prima che te lo insegnino :wink:;
per cui:

http://it.wikipedia.org/wiki/Legge_del_coseno

Ciao
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Messaggio da Br1 » mer mag 23, 2007 3:46 pm

Posto, giusto perché ormai li ho scritti,
i due conti che ho fatto, semplicemente
a biro, non appena ho visto il quiz di
Giacomo (in pausa-pranzo).

Eccoli.

Confermo le conclusioni di Pietro, è
naturale :D

A presto!
Bruno

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Messaggio da Admin » mer mag 23, 2007 4:25 pm

Ciao Bruno;
gran bel foglio di lavoro!

ed ottima soluzione;
di sicuro migliore della mia;
infatti se si prova a semplificare la mia equazione risultante con 3 radicali, si perviene ad una equazione di 6° o 8° grado!

mentre il tuo procedimento porta ad una semplice equazione di 2° grado.

tutto sta a saper mettere le incognite al posto giusto.

Complimenti ancora!

Ciao
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Messaggio da Jumpy94 » mer mag 23, 2007 4:36 pm

Ormai ciò fatto l'abitudine...comunque il mio nome è Giampietro...ma non hai sbagliato del tutto Bruno. Infatti deriva dalla fusione dei nomi dei miei due nonni: Giacomo e Pietro, anche se è più evidente Pietro (beh...è il nonno paterno).

Come sempre date soluzioni eleganti e compatte. Vi ammiro!!

Ciao.
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Messaggio da Br1 » mer mag 23, 2007 5:07 pm

Grazie, Pietro e Giampietro :wink:
Bruno

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Messaggio da Pasquale » mer mag 23, 2007 11:44 pm

Dunque il calcolo era errato e, trovato l'errore, la questione si è aggravata, perché non mi riesce di ottenere un risultato accettabile. Perché?

L'idea, che avrebbe portato a risultati approssimativi, era questa:

Immagine

AC^2 = CP^2+AP^2 -2CP\cdot AP\cdot\cos\alpha

1) l^2=20-16cos\alpha

BC^2=CP^2+BP^2-2CP\cdot BPcos\beta

2)  l^2=20-12cos\beta

AB^2=AP^2+BP^2-2AP\cdot BPcos\gamma

l^2=52-48cos\gamma= 52-48cos[360-(\alpha+\beta)]= 52-48cos(\alpha+\beta)= 52-48(cos\alpha\cdot cos\beta-sen\alpha\cdot sen\beta)

3) l^2= 52-48(cos\alpha\cdot cos\beta-\sqrt{(1-cos^2\alpha)(1-cos^2\beta)}

pongo:

cos\alpha=x
cos\beta=y

ottenendo:

4) l^2=20-16x
5) l^2=20-12y
6) l^2=52-48[xy - \sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}]

Dalla 4) e 5):

x=\frac{20-l^2}{16}

y=\frac{20-l^2}{12}

che sostituendo nella 6), mi porta a:

8\cdot l^6-320\cdot l^4+2176\cdot l^2=0

t=l^2

t^3-40t^2+272=0

t=l^2=39,8285

l=6,31 (impossibile)

cos\alpha = x = \frac{20-l^2}{16} = -1,239 (impossibile)


Insomma è solo una questione di calcoli, ma non ne vengo a capo, perché non riesco a trovare l'errore, che potrebbe essere anche di tipo concettuale: qual è? Please, correggetemi il compito, anche se vedo che nel frattempo la questione è stata risolta brillantemente, come al solito.
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Messaggio da Br1 » gio mag 24, 2007 10:04 am

(...) che sostituendo nella 6), mi porta a:

8\cdot l^6-320\cdot l^4+2176\cdot l^2=0

t=l^2

t^3-40t^2+272=0
In realtà, Pasquale, arrivi a questa:

t^3-40\cdot t^2+272\cdot t=0

che, con spicciole considerazioni,
porta al risultato già visto.

Solo una minuscola t-svista, allora,
che non toglie la validità sostanziale
del tuo metodo :wink:
Bruno

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Messaggio da Pasquale » ven mag 25, 2007 12:09 am

Porca.......eppure avevo controllato tutto il procedimento più volte, senza controllare evidentemente il passaggio finale!! Grazie!!
Allora per completezza correggo e concludo.
Senza necessità di utilizzare la variabile t, si perviene a:

l^4-40\cdot l^2+272=0

l = 5,5958653...

cos\alpha=x=\frac{20-l^2}{16}=-0,7071...

\alpha=arcos (x) = 135°
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