Ancora un pò di geometria.

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Pasquale
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Messaggio da Pasquale » ven mag 25, 2007 12:11 am

Porca.......eppure avevo controllato tutto il procedimento più volte, senza controllare evidentemente il passaggio finale!! Grazie!!
Allora per completezza correggo e concludo.
Senza necessità di utilizzare la variabile t, si perviene a:

l^4-40\cdot l^2+272=0

l = 5,5958653...

cos\alpha=x=\frac{20-l^2}{16}=-0,7071...

\alpha=arcos (x) = 135°
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

panurgo
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Messaggio da panurgo » ven mag 25, 2007 7:56 am

Dato che tutti l’hanno fatto, posterò anch’io il mio ragionamento :roll:

In relazione alla figura

Immagine

siamo interessati a conoscere l’angolo \alpha \/ + \/ \beta.

Abbiamo

\tan \left ( \alpha \/ + \/ \beta \right ) \/ = \/ \frac {\tan \alpha + \tan \beta} {1 - \tan \alpha \/\tan \beta }

e

\left \{ \tan \alpha \/ = \/ \frac {l - y} x \\ \tan \beta \/ = \/ \frac y x

da cui

\tan \left ( \alpha \/ + \/ \beta \right ) \/ = \/ \frac {\frac {l - y} x + \frac y x } {1 - \frac {l - y} x \/ \frac y x } \/ = \/ \frac {l x} {x^{\script 2} + y^{\script 2} - l y}

Sempre in riferimento alla figura abbiamo che

x^{\script 2} \/ + \/ y^{\script 2} \/ = \/ b^{\script 2}

e

\left \{ c^{\script 2} \/ - \/ \left ( l \/ - \/ x \right )^{\script 2} \/ = \/ b^{\script 2} \/ - \/ x^{\script 2} \\ a^{\script 2} \/ - \/ \left ( l \/ - \/ y \right )^{\script 2} \/ = \/ b^{\script 2} \/ - \/ y^{\script 2} \right . \qquad \Rightarrow \qquad \left \{ l \/ x \/ = \/ \frac {l^{\script 2} + \left (b^{\script 2} - c^{\script 2} \right )} 2 \\ l \/ y \/ = \/ \frac {l^{\script 2} + \left (b^{\script 2} - a^{\script 2} \right )} 2 \right .

combinando queste relazioni si ottiene

\left \[ l^{\script 2} + \left (b^{\script 2} - c^{\script 2} \right ) \right \]^{\script 2} \/ + \/ \left \[ l^{\script 2} + \left (b^{\script 2} - c^{\script 2} \right ) \right \]^{\script 2} \/ = \/ 4 \/ b^{\script 2} \/ l^{\script 2}

da cui segue

l^{\script 2} \/ = \/ \frac {a^{\script 2} + c^{\script 2} + R} 2

con

R \/ = \/ \sqrt {\left ( a^{\script 2} \/ + \/ c^{\script 2} \right )^{\script 2} \/ - \/ 2 \/ \left ( b^{\script 2} \/ - \/ a^{\script 2} \right )^{\script 2} \/ - \/ 2 \/ \left ( b^{\script 2} \/ - \/ c^{\script 2} \right )^{\script 2} }

Sostituendo si ottiene

\left \{ l \/ x \/ = \/ \frac {\frac {a^{\script 2} + c^{\script 2} + R} 2 + b^{\script 2} - c^{\script 2} } 2 \\ l \/ y \/ = \/ \frac {\frac {a^{\script 2} + c^{\script 2} + R} 2 + b^{\script 2} - a^{\script 2} } 2 \right . \qquad \Rightarrow \qquad \left \{ l \/ x \/ = \/ \frac {2 b^{\script 2} + a^{\script 2} - c^{\script 2} + R} 4 \\ l \/ y \/ = \/ \frac {2 b^{\script 2} - a^{\script 2} +c^{\script 2} + R} 4  \right .

e quindi

\tan \left ( \alpha \/ + \/ \beta \right ) \/ = \/ \frac {\frac {2 b^{\script 2} + a^{\script 2} - c^{\script 2} + R} 4} {b^{\script 2} - \frac {2 b^{\script 2} - a^{\script 2} +c^{\script 2} + R} 4} \/ = \/ \frac {2 b^{\script 2} + a^{\script 2} - c^{\script 2} + R} {2 b^{\script 2} + a^{\script 2} - c^{\script 2} - R} \/ = \/ -1

da cui segue

\alpha \/ + \/ \beta \/ = \/ \frac {3 \pi} 4
Ultima modifica di panurgo il ven mag 25, 2007 3:01 pm, modificato 1 volta in totale.
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
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Messaggio da Jumpy94 » ven mag 25, 2007 2:57 pm

Scusami Panurgo (mi sembra surreale correggerti), ma nel secondo sistema ti sei semplicemente dimenticato di sottrarre le quantità b^{\script 2}- \/ x^{\script 2} e b^{\script 2}- \/ y^{\script 2}, così da avere i risultati esatti da te trovati.
Tu indendevi:
\left \{ c^{\script 2} \/ - \/ \left ( l \/ - \/ x \right )^{\script 2} \/ = \/ b^{\script 2}- \/ x^{\script 2} \\ a^{\script 2} \/ - \/ \left ( l \/ - \/ y \right )^{\script 2} \/ = \/ b^{\script 2} -\/ y^{\script 2} \right . \qquad \Rightarrow \qquad \left \{ l \/ x \/ = \/ \frac {l^{\script 2} + \left (b^{\script 2} - c^{\script 2} \right )} 2 \\ l \/ y \/ = \/ \frac {l^{\script 2} + \left (b^{\script 2} - a^{\script 2} \right )} 2 \right .
Ciao!
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Messaggio da panurgo » ven mag 25, 2007 3:00 pm

scherzi di word che mi ha sostituito il carattere "-" con il carattere "─" che tex non riconosce (provvedo a correggere, grazie)
il panurgo

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vittorio
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Messaggio da vittorio » lun ago 20, 2007 4:49 pm

Salve. Sono nuovo e quindi non so come verranno le formule.
Ho pensato di inviare questa soluzione in quanto non capivo perché il proponente dichiarasse esplicitamente di non farsi influenzare dalla figura; e in effetti le soluzioni sono due.
Inoltre mi sono meravigliato del fatto che nessuno dei risolutori abbia tentato la via della geometria analitica, via che a mio parere risulta più facile.

Prima di preoccuparmi dell'angolo DFA risolvo il problema della determinazione del punto F e del lato del quadrato.
Per far questo inserisco la figura in un piano cartesiano ortogonale in modo che sia A(0,0), B(l,0), E(l,l), D(0,l), essendo l>0 il lato de quadrato (per ora incognito).
Considero inoltre il problema più generale ponendo FA=a FB=b FD=d con a>0, b>0, c>0. Ovviamente si torna al caso particolare in questione ponendo a=4, b=6, d=2.
Il punto F deve appartenere alla circonferenza di centro A e raggio a, alla circonferenza di centro B e raggio b ed a quella di centro D e raggio d. Le equazioni delle tre circonferenze sono rispettivamente
{x^{2}+y^{2}=a^{2}
(x-l) ^{2}+y^{2}=b^{2}
x^{2}+(y-l) ^{2}=d^{2}
dalla prima e dalla seconda equazione si ricava
x=\frac{a^{2}-b^{2}+l^{2}}{2l}
mentre dalla prima e dalla terza si ricava
y=\frac{a^{2}-d^{2}+l^{2}}{2l}
Sostituendo nella prima equazione e semplificando si ottiene la biquadratica che consente di determinare il lato l del quadrato:
2l^{4}-2l^{2}(b^{2}+d^{2}) +2a^{4}-2a^{2}(b^{2}+d^{2}) +b^{4}+d^{4}=0
Considero la biquadratica come una equazione di secondo grado nell'incognital^2. Il suo discriminante è:
\Delta=-4a^{4}+4a^{2}(b^{2} +d^{2}) -b^{4}+2b^{2}d^{2}-d^{4} cioè \Delta=-(a \sqr{2}+b+d )(a \sqr{2}+b-d )(a \sqr{2}-b+d )(a \sqr{2}-b-d )
da cui, dovendo essere a>0 e potendosi sempre scegliere b>d senza ledere la generalità del problema, si deduce che il problema è risolubile per
\frac{b-d}{\sqr{2}}   \le a \le \frac{b+d}{\sqr{2}}
In tal caso si osserva inoltre che la suddetta equazione di secondo grado ammette sempre due radici positive e che quindi delle quattro soluzioni della biquadratica due sono positive e due negative (salvo il caso di radici coincidenti).
Il problema geometrico (nel caso in cui sia possibile) ammette quindi due soluzioni.
Risolvendo si ottiene
l_1=\frac{\sqr{{b^{2}+d^{2}+\sqr{\Delta}}}}{2} l_2=\frac{\sqr{{b^{2}+d^{2}-\sqr{\Delta}}}}{2}
Nel caso numerico specifico si ottengono i lati dei due quadrati
\Delta=512 l_1=2\sqr{{5+2\sqr{2} } } l_2=2\sqr{{5-2\sqr{2} } }
Quindi F_1 ha coordinate x_1=\frac{2\sqr{{170-68\sqr{2} } } }{17} y_1=\frac{2\sqr{{986 + 68\sqr{2} } } }{17}
mentre F_2 ha coordinate x_2=-\frac{2\sqr{{170+68\sqr{2} } } }{ 17} y_2=\frac{2\sqr{{986 - 68\sqr{2} } } }{17}
L'angolo richiesto nei due casi si determina ora facilmente applicando il teorema di Carnot ai triangoli AF_1D_1 e AF_2D_2, di cui si conoscono i lati. Svolti i calcoli risulta
\cos(\angle AF_1D_1)=-\frac{\sqr{2}}{2} \angle AF_1D_1=135^\circ
\cos(\angle AF_2D_2)=\frac{\sqr{2}}{2} \angle AF_2D_2=45^\circ
(nel caso numerico specifico i due angoli risultano supplementari).
Si possono anche calcolare le distanze di F_1 da E_1 e di F-2 da E_2. Risulta
\overline{F_1E_1}=\overline{F_2E_2}=2\sqr6
Le due distanze risultano comunque uguali in ogni caso. Svolti i calcoli si ottiene
\overline{F_1E_1}=\overline{F_2E_2}=\sqr{b^2+d^2-a^2}
Si ottiene cioè la relazione
\overline FB^2+\overline FD^2=\overline FA^2+\overline FE^2
valida per ogni punto F del piano del quadrato ABED.
La figura seguente illustra la situazione nel caso numerico proposto.

Saluti a tutti.
Allegati
teorema.jpg
Vittorio

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Messaggio da Br1 » mar ago 21, 2007 5:23 pm

Ciao, Vittorio, e benvenuto :D
vittorio ha scritto:Inoltre mi sono meravigliato del fatto che nessuno dei risolutori abbia tentato la via della geometria analitica, via che a mio parere risulta più facile.
Ma il bello è proprio questo: che ognuno possa
seguire la sua strada!
E le idee che ci visitano sono spesso inaspettate :wink:
Per quanto mi riguarda, dato il poco tempo che
quasi sempre ho a disposizione, devo dirti che
il metodo che ho seguito io è stato piuttosto
'svelto', per me, così svelto che ho potuto scriverlo
(seppure a mano!) durante una pausa pranzo :D

Ho letto con molto piacere il tuo procedimento!
Bruno

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Messaggio da Jumpy94 » gio ago 23, 2007 10:56 am

vittorio ha scritto:Ho pensato di inviare questa soluzione in quanto non capivo perché il proponente dichiarasse esplicitamente di non farsi influenzare dalla figura...
E' ovvio che mi intendevo della figura che avevo messo nel messaggio fatta da me ad occhio :shock:. Per quanto riguarda la via analitica che credo nessuo abbia preso, si spiega con il fatto che in questo forum si tenta di fare e, da parte mia, anche di imparare, matematica ricreativa. A dire il vero, quando ho proposto il quesito, sarei stanto molto più contento di ricevere soluzioni tipo quella di Bruno, che soluzioni tio quella che prenderebbe il mio professore di matematica!
Ho scelto questo forum per distoglermi dalla matematica scolastica, che tenda a far imparare a noi studenti una marea di materiale meccanicamente, senza porci più di tanto nelle condizioni di sviluppare un processo risolutivo autonomo. Questo non significa che io disprezzi i professori o non studi ciò che mi spiegano, anzi, se posso, tendo anche ad approfondire il mio bagaglio di conoscenze, ma mi fa rabbia che avvolte tagliano le gambe a coloro che qualche volta escono dagli schemi perché ritengono più opportuna una strada anziché un'altra.
Secondo me, non si può imparare matematica ad un buon livello se non si sviluppano a priori dei metodi di ragionamento autonomi. Su questo punto mi sono scontrato apertamente all'inizio di quest'anno con la mia professoressa di Fisica, che ha introdotto nella mia classe (III Liceo Scientifico) un nuovo metodo di ragionamento rispetto agli anni precedenti, senza però verificare se eravamo nelle condizini di intraprendere questo metodo , ovvero senza verificare il livello di padronaza delle conoscenze e dei metodi degli anni precedenti (a mio dire molto^3 più creativi). Per questo poi si è trovata verso la fine dell'anno difronte a dei ragazzi (non tutti, ma la stragrande maggioranza) che d'avanti a problematiche nuove si trovavano in forte difficoltà poiché non riuscivano a ragionare con la propria testa, ma solo con i semplici esempi che lei proponeva. Come detto, abbiamo avuto delle discussioni, ma nulla è servito, e molti dei mie compagni continueranno a studiare e a credere di capire a pieno quello che i professori spiegano, anche se faccio di tutto per aiutarli.
Ciao.
Una vita senza ricerca
non è degna di essere vissuta.
Socrate

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