Ancora triangoli

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apritisesamo
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Ancora triangoli

Messaggio da apritisesamo » dom set 25, 2011 12:10 am

Nel triangolo ABC, il punto R divide BC in parti uguali, mentre il punto S di AC è tale che CS=3AS. Con T su AB, l'area del triangolo RST è tripla di quella di BRT. Trovare il valore di \frac{AT}{BT}

karl
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Re: Ancora triangoli

Messaggio da karl » mar set 27, 2011 8:03 pm

http://imageshack.us/photo/my-images/546/dase51.jpg/" target="_blank
Non avendo trovato una dimostrazione puramente geometrica ( che forse pure c'è) ,ripiego sui calcoli.
Pongo:
\displaystyle  AT=x,TB=y,BR=RC=p,CS=3q,SA=q
Inoltre indico con a,b,c gli angoli del triangolo ( vedi figura allegata).
Osservo che l'area del triangolo ABC è la somma di 4 volte l'area del
triangolo BRT con le aree dei triangoli CRS e AST .
Per una nota formula dell'area di un triangolo si può scrivere allora che :

(1) \displaystyle \frac{1}{2}qx\sin(a)+4\cdot \frac{1}{2}py\sin(b)+\frac{1}{2}\cdot 3pq\sin(c)=\frac{1}{2}\cdot (2p)(4q)\sin(c)

Inoltre per il teorema dei seni si ha pure:

(2) \displaystyle \frac{x+y}{\sin(c)}=\frac{2p}{\sin(a)}

Riunendo (1) e (2) si ottiene il sistema:

\displaystyle \begin{cases} (q\sin(a))x+(4p\sin(b))y=5pq\sin(c) \\ (\sin(a))x+(\sin(a))y=2p\sin(c)\end{cases}

Risolvendo si ricava che :

\displaystyle \begin{cases} Dx=5pq\sin(a)\sin(c)-8p^2\sin(b)\sin(c)\\ Dy=-3pq\sin(a)\sin(c)\end{cases}

dove è \displaystyle D=q\sin^2(a)-4p\sin(a)\sin(b)

Dividendo membro a membro avviene che :

\displaystyle \frac{x}{y}=-\frac{5}{3}+\frac{8}{3} \cdot \frac{p}{q}\cdo\frac{\sin(b)}{\sin(a)}

Ma ,sempre per il teorema dei seni, ho :

\displaystyle \frac{4q}{2p}=\frac{\sin(b)}{\sin(a)

E dunque sostituendo :

\displaystyle \frac{x}{y}=-\frac{5}{3}+\frac{8}{3}\cdot\frac{p}{q}\cdot \frac{4q}{2p}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{3}=\frac{11}{3}

Si conclude infine che :

\displaystyle \frac{AT}{BT}=\frac{11}{3}

Edmund
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Re: Ancora triangoli

Messaggio da Edmund » lun mar 05, 2012 4:52 pm

Salve a tutti,
voglio proporre una soluzione semplice al quesito di apritisesamo.

Costruiamo attorno al triangolo ABC una "griglia" così fatta:

1) prolunghiamo il lato TR del triangolo RST
2) tracciamo le rette parallele a TR passanti per i punti A, B e C e passanti per i punti D es E del lato AC tali che

AS=SD=DE=EC

e siano M, N, O, P le intersezioni di tali rette con il lato AB, risulterà

AM=MN=NO=OP e
PT=TB

3) prolunghiamo il lato ST del triangolo RST
4) tracciamo le rette parallele a ST passanti per i punti A, B e C e per i punti M ed R

Qualunque sia il rapporto tra le aree dei triangoli RST e BRT, tale rapporto sarà lo stesso tra le aree dei parallelogrammi RKST e LRTQ e
di conseguenza per i lati ST e TQ e quindi tra MT e TB

La figura renderà tutto più chiaro

upload/TRIANGOLO5.png
Posto

TB=x  \\ AM=y

risulta

MT=MN+NO+OP+PT=3y+x

se il rapporto tra le aree dei triangoli RST/BRT è 3 risulterà

\frac{Area RST}{Area BRT}=\frac{MT}{TB}=\frac{(3y+x)}{x}=3\frac{y}{x}+1=3

\frac{y}{x}=\frac{2}{3}

troviamo adesso il rapporto richiesto cioè AT/TB

AT=AM+MT=y+3y+x=4y+x

\frac{AT}{TB}=\frac{(4y+x)}{x}=4\frac{y}{x}+1=4\frac{2}{3}+1=\frac{11}{3}

Generalizziamo il problema:
siano p e q le suddivisioni in parti uguali dei lati BC ed AC e sia r il rapporto tra le aree dei triangoli RST e BRT

AT=py+(q-1)x
TB=x

\frac{AT}{TB}=p\frac{(r-1)}{3}+q-1


Per adesso è tutto

Edmund
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Re: Ancora triangoli

Messaggio da Edmund » lun mar 05, 2012 4:55 pm

Salve a tutti,
voglio proporre una soluzione semplice al quesito di apritisesamo.

Costruiamo attorno al triangolo ABC una "griglia" così fatta:

1) prolunghiamo il lato TR del triangolo RST
2) tracciamo le rette parallele a TR passanti per i punti A, B e C e passanti per i punti D es E del lato AC tali che

AS=SD=DE=EC

e siano M, N, O, P le intersezioni di tali rette con il lato AB, risulterà

AM=MN=NO=OP e
PT=TB

3) prolunghiamo il lato ST del triangolo RST
4) tracciamo le rette parallele a ST passanti per i punti A, B e C e per i punti M ed R

Qualunque sia il rapporto tra le aree dei triangoli RST e BRT, tale rapporto sarà lo stesso tra le aree dei parallelogrammi RKST e LRTQ e
di conseguenza per i lati ST e TQ e quindi tra MT e TB

La figura renderà tutto più chiaro
TRIANGOLO.png
Posto

TB=x  \\ AM=y

risulta

MT=MN+NO+OP+PT=3y+x

se il rapporto tra le aree dei triangoli RST/BRT è 3 risulterà

\frac{Area RST}{Area BRT}=\frac{MT}{TB}=\frac{(3y+x)}{x}=3\frac{y}{x}+1=3

\frac{y}{x}=\frac{2}{3}

troviamo adesso il rapporto richiesto cioè AT/TB

AT=AM+MT=y+3y+x=4y+x

\frac{AT}{TB}=\frac{(4y+x)}{x}=4\frac{y}{x}+1=4\frac{2}{3}+1=\frac{11}{3}

Generalizziamo il problema:
siano p e q le suddivisioni in parti uguali dei lati BC ed AC e sia r il rapporto tra le aree dei triangoli RST e BRT

AT=py+(q-1)x
TB=x

\frac{AT}{TB}=p\frac{(r-1)}{3}+q-1


Per adesso è tutto

Edmund
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Re: Ancora triangoli

Messaggio da Edmund » lun mar 05, 2012 5:40 pm

Faccio una correzione sulla generalizzazione del quesito:


siano p e q le suddivisioni in parti uguali dei lati BC ed AC e sia r il rapporto tra le aree dei triangoli RST e BRT

AT=py+(q-1)x
TB=x

MT=(p-1)y+(q-1)x

\frac{MT}{TB}=r

r=\frac{(p-1)y+(q-1)x}{x}=(p-1)\frac{y}{x}+q-1

\frac{y}{x}=\frac{r-q+1}{p-1}

\frac{AT}{TB}=p\frac{y}{x}+q-1

la formula generale è quindi:

\frac{AT}{TB}=(r-q+1)\frac{p}{p-1}+q-1

vittorio
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Re: Ancora triangoli

Messaggio da vittorio » mer mar 07, 2012 5:07 pm

Inizio con una premessa.
In un triangolo ABC si considerano due punti P e Q rispettivamente sui lati AB e AC. Si vuole calcolare il rapporto tra le aree dei triangoli QAP e CAB.
Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com

Traccio le altezze PK e BH dei triangoli APQ e ABC.
Risulta \frac{\Delta\left(QAP\right)}{\Delta\left(CAB\right)}=\frac{AQ\cdot KP}{AC\cdot HB} . Ma, dalla similitudine dei triangoli APK e ABH, risulta \frac{KP}{HB}=\frac{AP}{AB} da cui \frac{\Delta\left(QAP\right)}{\Delta\left(CAB\right)}=\frac{AQ}{AC}\cdot\frac{AP}{AB} .
In altre parole il rapporto tra le aree dei triangoli QAP e CAB è il prodotto dei rapporti tra AQ e AC e tra AP e AB.

Passo ora al problema proposto in forma generale.

Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com

Pongo \frac{BR}{BC}=p , \frac{CS}{CA}=q , \frac{AT}{AB}=x da cui \frac{CR}{CB}=1-p, \frac{AS}{AC}=1-q, \frac{BT}{BA}=1-x .
Da quanto detto in precedenza si ha \frac{\Delta\left(AST\right)}{\Delta\left(ABC\right)}=x\cdot\left(1-q\right) , \frac{\Delta\left(BRT\right)}{\Delta\left(ABC\right)}=p\cdot\left(1-x\right), \frac{\Delta\left(CSR\right)}{\Delta\left(ABC\right)}=q\cdot\left(1-p\right).
Inoltre
\frac{\Delta\left(STR\right)}{\Delta\left(ABC\right)}=1-\frac{\Delta\left(AST\right)}{\Delta\left(ABC\right)}-\frac{\Delta\left(BRT\right)}{\Delta\left(ABC\right)}-\frac{\Delta\left(CSR\right)}{\Delta\left(ABC\right)}=\left(x\cdot p+x\cdot q+p\cdot q-x-p-q+1\right).

Ponendo \Delta\left(STR\right)=t\cdot\Delta\left(TBR\right) e risolvendo si ottiene x=\frac{p\cdot\left(t-q+1\right)+q-1}{p\cdot\left(t+1\right)+q-1} , 1-x=\frac{p\cdot q}{p\cdot\left(t+1\right)+q-1} e infine \frac{AT}{BT}=\frac{p\cdot\left(t-q+1\right)+q-1}{p\cdot q}.

Per quanto riguarda il problema numerico si ha p=\frac{1}{2} , q=\frac{3}{4} , t=3 quindi \frac{AT}{BT}=\frac{11}{3}
Vittorio

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