Amici agli angoli

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David
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Amici agli angoli

Messaggio da David » dom nov 28, 2010 3:52 pm

In un vasto campo di allenamento pianeggiante 4 amici occupano i 4 vertici di un ideale trapezio isoscele avente le basi di 12 e 8 chilometri e l'altezza ad esse relativa pari a 6 chilometri.

Nello stesso istante tutti partono lemme lemme mantenendo una velocità costante pari a 2 Km/h con l'intento di trovarsi in un punto del campo dopo esattamente 2 ore,capitando lì a coppie, Luigino arriverà insieme a Renatino mentre Paolone giungerà assieme a Carletto.

Nel momento in cui uno di loro incontra un altro, la coppia da quel momento deve cambiare passo, adottando comunque un'andatura sempre costante, in modo che non venga superato il limite fissato delle 2 ore.

Essi dunque hanno studiato i tragitti combinando quelli singoli e quelli a coppie (ognuno di loro sa sempre in qualsiasi istante dove egli si trova e dove si trovano gli altri avendo una perfetta conoscenza dei tragitti e della loro tempistica) in maniera tale che la velocità di crociera di ogni coppia risulti la minore possibile affinchè il rendez-vouz non superi il tempo limite di 2 ore.

Quale sarà tale velocità?

Quali saranno i percorsi che effettueranno per rendere tale velocità la più bassa possibile?

delfo52
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Re: Amici agli angoli

Messaggio da delfo52 » dom nov 28, 2010 4:14 pm

coloro che partaono dai vertici della base maggiore, se viaggiano da soli, non riescono nemmeno a incontrarsi tra di loro, anche seguendo la via più breve. Ergo, devono cercare altre strade, per poter cambiare marcia !

Se non devono dunque andare verso il compare all'altra estremità della base maggiore, conviene che si organizzino per incontrare quanto prima il loro amico che parte dall'estremo superiore del "loro" lato obliquo. Da cui distano 2*radice di 10.
Pertanto è bene che si dirigano o lungo il lato obliquo stesso, o un poco lateralemnte, ma non troppo. devono far sì che il percorso (proprio e di chi parte dall'altro estremo) non superi 4. una volta incontarato l'amico, basta adeguare la velocità per arrivare all'incontro in tempo.
Non essendo indicato alcun limite, le possibilità sono infinite, o quasi.
In pratica, occorre
1- disegnare quattro archi di circonferenza con centro nei vertici e apertura pari a 3,99
2- unire i punti di incrocio con un segmento
3- concordare un punto sul segmento verso cui dirigersi
4- una volta incontratisi, stabilire concordemente all'altra coppia, dove vogliono incontrarsi, e adeguare direzione e velocità.
(in teoria una coppia può anche stare ferma)
Enrico

Pasquale
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Re: Amici agli angoli

Messaggio da Pasquale » dom lug 03, 2016 5:22 pm

ATTENZIONE: non tener conto di quanto segue, tutto errato per una banale svista. Infatti, i 4 amici devono partire tutti dagli angoli e non soltanto 2 di essi


In senso antiorario: ABCD

AB = base maggiore = 12Km -
CD = base minore = 8Km
h1 = h2 = 6Km

Paolone in A, Luigino in B, Renatino in C, Carletto in D; coppie Luigino/Renatino - Paolone/Carletto

Si avviano singolarmente ognuno a 2Km/h lungo le altezze e si incontrano a metà altezza dopo 1 ora e mezza, Luigino e Renatino da una parte e Paolone e Carletto dall'altra.
Partono una coppia verso l'altra alla velocità di 8Km/h e si incontrano dopo mezz'ora, avendo percorso ciascuna coppia 4 Km. Tempo totale impiegato da ciascuno: 2h.

Quanto sopra rispetto alla richiesta iniziale secondo cui l'incontro deve avvenire dopo esattamente 2 ore.
Al termine del quesito si richiede invece altro, ma mi sembra che non vi siano altre possibilità.
Spero di aver compreso bene il testo.
Ultima modifica di Pasquale il mar lug 12, 2016 11:42 pm, modificato 1 volta in totale.
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franco
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Re: Amici agli angoli

Messaggio da franco » mar lug 05, 2016 5:40 pm

Ho ragionato in maniera un po' diversa.
Faccio riferimento al disegno qui sotto:
trapezio1.png
trapezio1.png (30.77 KiB) Visto 1095 volte
AB = 12
CD = 8
AH = 2
DH = 6
R è il punto d'incontro (l'altra coppia segue un percorso speculare), P è il punto medio del lato AD e SP è perpendicolare a AD.
d = AP = ½ AD = √10
k = arctg (DH/AH) = arctg 3
AQ = d/cos x
. . . . . (con 0 ≤ x ≤ k)
TAQ = AQ/VAQ = d/(2 cos x)
QR = AB/2 – AQ cos (k-x) = 6 – (d cos (k-x))/cos x
TQR = 2 – TAQ = 2 – d/(2 cos x)
VQR = QR / TQR = (6 - (d cos (k-x))/cos x) / (2 – d/(2 cos x))
trapezio2.png
trapezio2.png (24.53 KiB) Visto 1095 volte
Un tempo avrei calcolato il minimo della funzione ma ora ho un po’ perso la mano con le derivate quindi ho cercato il valore minimo per approssimazioni successive.
Se non ho sbagliato i conti o le formule, mi risulta VQR MIN = 11,33333 per x = 0,1682 (poco meno di 10°)

corretto un pedice errato
Ultima modifica di franco il mar lug 05, 2016 9:44 pm, modificato 1 volta in totale.
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Re: Amici agli angoli

Messaggio da panurgo » mar lug 05, 2016 8:47 pm

I numeri tornano con le prove senza pretese che ho fatto io.
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Re: Amici agli angoli

Messaggio da Pasquale » mer lug 06, 2016 1:48 am

Troppo buono Panurgo, e per questo ti ringrazio, quando dici di aver ragionato in modo diverso, mentre io ho nondimeno dimenticato di far partire tutti i corridori dagli angoli.
Preso dalle partenze da D e C, ho perso di vista quelle da A e B.
In realtà, cercavo un percorso nella prima fase, cioè prima degli incontri due a due, che fosse minore di 4 Km, per i quali già si sarebbero impiegate 2 ore (troppe).
Dunque correggendo il tiro, cioè scegliendo il percorso da te indicato per una coppia (percorso simmetrico per la seconda coppia), e facendo riferimento al tuo percorso, direi che PQ deve essere tale che AQ=DQ < 4.

Se AQ = 4, PQ = sqrt{16-10} = 2,4494897...

Poiché il suddetto valore non è esatto, per una qualsiasi approssimazione preferita, sarà sempre AQ < 4. Conseguentemente per una qualsiasi approssimazione di QR, sarà sempre possibile individuare la relativa velocità con cui affrontare tale percorso in modo da non superare le 2 ore, volendosi ammettere anche a possibilità di una velocità tendente all'infinito, o se vogliamo quella della luce, ove questa non sia superabile.

Tuttavia, il quesito richiede di ricercare un percorso per la prima fase, tale che il tempo residuo al raggiungimento delle 2 ore, in relazione al percorso residuo QR, consenta di affrontare quest’ultimo alla velocità minima possibile.

Si tratta di un bel problema che era finito nel dimenticatoio e che il grande Panurgo ha risolto in funzione di x, ricercandone il giusto valore.

Seguendo quindi il percorso indicato da Panurgo, vorrei provare a semplificare la soluzione secondo criteri più consoni alle mie possibilità, se mi riuscirà. Mi riservo di provarci.
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