Altre palle...

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panurgo
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Altre palle...

Messaggio da panurgo » mar dic 18, 2018 5:51 pm

Un'urna contiene palle di diversi colori, lo stesso numero di palle per ciascun colore; l'aggiunta di $20$ palle di un colore nuovo (diverso dai precedenti) non modifica la probabilità di pescare due palle dello stesso colore: quante palle conteneva l'urna prima dell'aggiunta? (vietato rispondere: "$20$ in meno di quante ne contiene dopo l'aggiunta"!)
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Pasquale
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Re: Altre palle...

Messaggio da Pasquale » sab dic 29, 2018 3:40 am

Direi proprio che ne conteneva quante ne ho attaccate sull'albero di Natale, ovvero 190 (10 per ognuno dei 19 colori e/o disegni diversi utilizzati). :D

Quanto sopra discende dall'equazione di facile soluzione, in cui si eguagliano le probabilità relative alle due situazioni (prima e dopo l'aggiunta delle 20 palle):

\frac {x-1}{xy-1} = \frac{xy(x-1)+380}{(xy+20)(xy+19)}

x: quantità di palle per ogni diverso colore
y: quantità dei colori

Per maggiore chiarezza aggiungo che con procedimento di semplificazione, si giunge alla seguente equazione finale:

x = \frac{21y - 19}{2y}, la quale, affinché la x abbia un valore intero, ammette per la y i valori 1 e 19, dei quali solo il 19 è accettabile (soluzione cosiddetta ad occhio).
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Gianfranco
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Re: Altre palle...

Messaggio da Gianfranco » ven gen 11, 2019 10:36 pm

Grandioso albero di Natale, Pasquale, e pure grandiosa la soluzione!

Posso solo aggiungere che se indichiamo con \large k il numero di palle aggiunte, la tua equazione diventa:
\large x=\frac{\left( k+1\right) y-(k-1)}{2 y}.
Credo che ci sia sempre almeno una soluzione (diversa da 1) tranne per k=2 e k=3
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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