Ho un problema abbastanza urgente sul lavoro.

Come qualcuno saprà lavoro in un'azienda alimentare che produce bottiglie di una specifica bevanda (che non cito per non fare pubblicità ).

La macchina tappartice usa un "carosello" di 12 teste tappanti che chiudono le bottiglie che scorrono allineate. (la prima bottiglia è chiusa dalla testa 1, la successiva dalla testa 2 e così via, la tredicesima è di nuovo sotto la testa 1).

Successivamente le bottiglie si mischiano in altri macchinati e infine sono confezionate in scatole da 24 bottiglie ciascuna dove possiamo tranquillamente assumere che la distribuzione sia assolutamente casuale.

Domanda:

Che probabilità ho che in una scatola da 24 non ci sia nemmeno una bottiglia tappata alla testa numero 1?
Che probabilità c'è con due scatole? E con N scatole?

ciao e grazie in anticipo.



P.S. probabilmente la risposta è facile ma in questo momento sono "fuso"

Ciao Franco,
hai scritto:

Successivamente le bottiglie si mischiano in altri macchinati e infine sono confezionate in scatole da 24 bottiglie ciascuna dove possiamo tranquillamente assumere che la distribuzione sia assolutamente casuale.

Mi è venuto in mente il seguente modello, che però non so se rispecchia bene la situazione reale. Penso a una catena di montaggio illimitata.

Supponiamo che una certa macchina emetta dei numeri interi in sequenza, compresi fra 1 e 12, ciascuno con probabilià 1/12.
Quale probabilità c'è che in 24 numeri successivi non ci sia neanche un "1"?

$\large P = {\left(\frac{11}{12}\right)}^{24}= 0,12\ldots = 12%$ circa

Pensando invece in termini di permutazioni (o meglio disposizioni con ripetizione).
Disposizioni con ripetizione di 12 elementi distinti a gruppi di 24:

D(12,24) = 12^24

Disposizioni con ripetizione di 11 elementi a gruppi di 24 (quelle senza uno degli elementi)?

D(11,24) = 11^24

Probabilità:

$\large P = {\frac{11^{24}}{12^{24}}}= 0,12\ldots = 12%$ circa

Pensando invece a un enorme magazzino contenente tutte le bottiglie confezionate in una giornata, da cui si estraggono casualmente quelle da mettere nelle scatole da 24.

Indichiamo con:
b il numero totale di bottiglie (supponiamo che sia un multiplo di 12)
k = 11b/12 il numero totale di bottiglie NON tappate dalla testa 1

$\large P=\frac{k}{b}\cdot\frac{k-1}{b-1}\cdot\frac{k-2}{b-2} \cdot\dots\cdot \frac{k-23}{b-23}=\frac{k! (b-24)!}{b!(k-24)!}$

Grazie Gianfranco,

Con un po' di calma, in serata sono arrivato allo stesso risultato.
In particolare, ed era il punto a cui volevo arrivare, ho calcolato che controllando tutte le bottiglie di 4 scatole ho solo lo 0,02% di probabilità di non intercettare nemmeno una bottiglia passata dalla testa 1.

P.S.
Ieri mattina abbiamo prodotto 528.768 bottiglie e a fine produzione ci siamo accorti di un difetto generato da una testa di tappatura (i controlli a inizio turno erano ok).
Nei prossimi giorni faremo dei controlli sui singoli lotti orari per vedere quando è cominciato il problema e quindi quanto prodotto dovremo mandare a distruzione.