PRIMO

Si dimostra che il quadrato di un numero che termina 5 è un numero avente le ultime due cifre uguali a 25 e la parte che le precede uguale al prodotto di due numeri consecutivi:

$(10a+5)^2=10^2\cdot a^2+10^2\cdot a+5^2 = a(a+1)\cdot 100+25$

Quindi, poiché il nostro numero termina per 25, se è un quadrato lo è di un numero che termina per 5 e pertanto, tolte le due ultime cifre (25), quello che resta è un numero formato da 2004 uno e 2004 due: se il prodotto di due numeri consecutivi dà come risultato una serie di 1 seguita da una serie di 2 di uguale lunghezza, allora il nostro numero è un quadrato.
Ho trovato sperimentalmente che tutti i numeri formati da cifre 3, se moltiplicati per il successivo danno il risultato atteso (3x4, 33x34, 333x334, 3333x3334,....), il che equivale a dire che tale risultato è dato da un numero formato da cifre 3 sommato al suo quadrato $\[a(a+1)=a+a^2\]$: in sostanza la radice del numerone è un numero formato da 2004 tre, seguiti da un 5 finale.
Comunque, occorrerebbe dimostrare che $a(a+1)=a+a^2$ è sempre formato da una serie di 1 e 2, per a=333.... in qualsiasi quantità.
Osservando lo sviluppo di $a^2$ sotto forma di operazione di moltiplicazione, ci si rende conto che quando si vanno a sommare i risultati dei prodotti parziali, questi sono formati da tutte cifre 9 e che i riporti sono tali da determinare sempre una serie di uno, seguita da uno zero, da una serie di otto ed un 9 finale: 11111...111088888...889.
Gli otto che si trovano fra lo zero ed il nove finale, più il 9 stesso sono in numero uguale ai tre di cui è costituita la a, per cui quando andiamo a sommare a questa parte finale del numero la stessa a, considerati i riporti, si vanno a formare i 2 finali, mentre l'unico zero diventa 1 e quelli che già c'erano restano così come sono.
Non è certo una dimostrazione, ma insomma si capisce che è così: chissà che altri non possano riuscire in una dimostrazione più bella.

Primo
$N=10^{4009}+...+10^{2006}+2(10^{2005}+...+10^1)+5=$

$=10^{2006}\cdot \frac{10^{2004}-1}{10-1}+2 \cdot 10 \cdot \frac{10^{2005}-1}{10-1}+5=$

$=\frac{10^{4010}-10^{2006}+2 \cdot 10^{2006}-20+45}{9}=$
$=\frac{10^{4010}+10^{2006}+25}{9}=\left(\frac{10^{2005}+5}{3}\right)^2$
leandro

TERZO

a679b = 72k; meglio: $10^4\cdot a+6790+b=72k$

b è uguale alla cifra delle unità di 72k e può assumere i valori 0,2,4,6 oppure 8.

per b=0; $10^4\cdot a+6790+0=72k$; $k=\frac{10^4\cdot a+6790}{72}$; k non è mai intero

per b=2; $k=\frac{10^4\cdot a+6792}{72}$; per a=3; k=511

per $4\le b\le 8$; k non è mai intero

Conclusione: per k=511; b=2; a=3; 36792=72x511

!! Ecco la cosa bella che cercavo (quella di Leandro): lo sapevo che da qualche parte c'era.

Ancora sul TERZO (con le congruenze):

il numero a679b deve essere divisibile per 9 e per 8;
è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre lo è;
è divisibile per 8 se il numero formato dalle sue ultime 3 cifre lo è;

quindi si tratta di risolvere il sistema di congruenze:

$\left{a+6+7+9+b \equiv 0\,(mod\,9)\\79b \equiv 0\,(mod\,8)$

da cui

$\left{a+22+b \equiv 0\,(mod\,9)\\790+b \equiv 0\,(mod\,8) \right. \Rightarrow \left{a \equiv -b-22\,(mod\,9)\\b \equiv -790\,(mod\,8) \right. \Rightarrow \left{a \equiv -b+5\,(mod\,9)\\b \equiv 2\,(mod\,8)$

siccome $0\le b\le9$ si ha proprio $b=2$;
sostituendo nella 1° congruenza ed essendo anche $0\le a\le9$, si ottiene:

$\left{a \equiv 3\,(mod\,9)\\b=2\right. \Rightarrow \left{a=3 \\b=2$

Ciao
Admin

...mi aspettavo proprio anche un tuo intervento 'congruente'
Grande!

Non potevo certo mancare!

ormai sono congruo-malato.

Ciao
Admin

Ciao a tutti,
ecco un mio piccolissimo (anzi microscopico) contributo:

QUARTO


Detto X il numero cercato e "c" il numero delle sue cifre
abbiamo che

X - 6*10^(c-1) = X/25

riarrangiando otteniamo

X = 25/4 * 10^(c-1) = 6.25 * 10^(c-1) = 625 * 10^(c-3)

perchè X sia intero deve essere c=>3, per cui i numeri cercati sono:

625
6250
62500
625000
625......
..........


Edmund

... mitico

SECONDO


Dimostrare che esistono infiniti numeri naturali n per ogni numero primo p
tali che il numero p²+n sia composto.

Un'altra risposta potrebbe essere n=pk, con k=0,1,2,3,4...
Oppure c'è anche questa, meno evidente: n=6k+5, sempre con k=0,1,2,3,4...