A bruciapelo

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 2020
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

A bruciapelo

Messaggio da Bruno »

Se $\, a \,$ è un numero dispari, allora $\, (a^{\text \tiny 2}-3^{\text \tiny 2})^{\text \tiny 2} \,$ è sempre divisibile per... $\; 2^{\text \tiny 6} \, .$
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Admin
Amministratore del sito
Amministratore del sito
Messaggi: 869
Iscritto il: mer apr 20, 2005 3:47 pm
Località: Benevento

Messaggio da Admin »

Dunque,
$a$ deve essere dispari, per cui scriviamolo nella forma $2n+1$;

sostituendo si ottiene:

$((2n+1)^2-3^2)^2\quad = \quad (4n^2+4n+1-9)^2\quad = \quad (4n^2+4n-8)^2\quad = \quad ((2^2)(n^2+n-2))^2\quad =\quad 2^4(n^2+n-2)^2$

si nota ora che $n^2+n-2$ è sempre un numero pari:

infatti se $n$ è pari tutti e tre i termini della somma algebrica sono pari e quindi anche la somma è pari;
se $n$ è dispari, allora anche $n^2$ sarà dispari, e quindi $n^2+n$sarà la somma di due dispari e quindi sarà pari;
quindi anche in questo caso $n^2+n-2$ sarà pari;

ciò vuol dire che $n^2+n-2$ è divisibile per 2 e quindi può essere scritto nella forma generica:

$n^2+n-2 = 2\cdot c$

per cui l'espressione iniziale diventa:

$2^4 (2\cdot c)^2 = 2^42^2c^2=2^6c^2$

Da cui si evince che l'espressione iniziale per $a$ dispari è sempre divisibile per $2^6$.

Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net

Gianfranco
Supervisore del sito
Supervisore del sito
Messaggi: 1708
Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
Località: Sestri Levante
Contatta:

Messaggio da Gianfranco »

Complimenti Pietro!

Gianfranco

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 2020
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Messaggio da Bruno »

...

Bravo davvero, Pietro, e veloce!

Questo problemino proviene da un numero del "Supplemento al Periodico
di Matematica" risalente all'inizio dello scorso secolo!

Quando mi sono proposto di risolverlo, ho pensato questo (ma si tratta di
un'inezia).
Se a è dispari, allora posso trovare due numeri interi p e q (non entrambi
pari o dispari) tali che:

a = p+q
3 = p-q,

in quanto p=½(a+3) e q=½(a-3) sono certamente interi.
Ciò significa, innanzitutto, che:

a²-3² = (p+q)²-(p-q)² = 4pq = 4p(p-3)

e poi che:

(a²-3²)² = 16p²(p-3)².

Ora, sapendo che p oppure p-3 dev'essere pari, vedo anche che il prodotto
p(p-3) è senz'altro divisibile per 2, quindi:

(a²-3²)² = 64·¼p²(p-3)².

In realtà, questo mostra che è divisibile per 64 il quadrato della differenza dei
quadrati di due numeri dispari qualsiasi.


(Bruno)
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Rispondi