13 a tavola

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Messaggio da franco » sab feb 24, 2018 3:18 pm

Con il solo utilizzo di riga e compasso dividete una torta rotonda in tredici porzioni della stessa area.
N.B. non si conosce il centro della torta.

D4907

ciao
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Re: 13 a tavola

Messaggio da Pasquale » dom feb 25, 2018 4:24 am

La riga è millimetrata?
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Re: 13 a tavola

Messaggio da franco » dom feb 25, 2018 6:32 am

No :twisted: :twisted:
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Re: 13 a tavola

Messaggio da Pasquale » lun feb 26, 2018 2:17 am

Quesito diabolico.....a titolo di esercitazione sull'uso di riga e compasso, tanto per prendere la mano, finora ho potuto rilevare che sarebbe stato molto semplice trovare il centro della torta e suddividerla in 8 parti uguali, partendo da una tangente, ma è stato richiesto altro.......occorre che si accenda la :idea: , almeno spero.
Tuttavia, devo ancora chiedere se posso disporre almeno di un coltello :mrgreen: Perché il quesito cita una torta e non un cerchio?
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Re: 13 a tavola

Messaggio da franco » lun feb 26, 2018 12:45 pm

Hai ragione, riscrivo il quesito:

Con il solo utilizzo di riga non millimetrata, compasso e coltello dividete una torta rotonda in tredici porzioni della stessa area.

:D :D :D

P.S.
Il problema si può risolvere in due modi completamente diversi; uno dei due è particolarmente "bello" ed è il motivo che mi ha portato ad aprire questo topic.
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Re: 13 a tavola

Messaggio da Pasquale » mar feb 27, 2018 3:33 am

Va bene, trattandosi di una torta, direi di non guardare tanto alle briciole ed intanto direi che non è difficile, data una certa circonferenza della torta, risalire al suo centro ed al raggio, utilizzando solo riga e compasso.
Infatti, tracciando una secante ed utilizzando il compasso, aperto se vogliamo alla misura della secante stessa, possiamo tracciare l'asse di questa stessa, che ci regala il diametro della circonferenza. Tracciando poi l'asse di tale diametro, otteniamo altro diametro e quindi il centro ed il raggio della circonferenza.
Noto poi che, date 2 circonferenze concentriche, di cui la maggiore di raggio x e la minore di raggio r, se diciamo che:

\pi\cdot x^2 - \pi\cdot r^2 = 12\pi\cdot r^2

otteniamo che

x = r\sqrt{13} e che se diciamo poi che r=1, allora x=\sqrt{13}

Viceversa, se dico che la torta ha un raggio di lunghezza convenzionale pari a \sqrt{13} volte un segmento unitario, allora il nostro problema si traduce nella necessità di individuare materialmente tale raggio unitario, inteso come raggio del cerchietto concentrico di cui sopra.
Infatti, una volta tracciato tale cerchietto, il problema sarebbe risolto, perché la sua area rappresenterebbe la tredicesima parte dell'area dell'intera torta: tolta questa, non resterebbe che dividere in 12 parti la restante torta, rappresentata da da una corona circolare, la qual cosa sarebbe semplice da effettuare con riga e compasso.
Per realizzare quanto sopra, occorrerebbe cercare di rappresentare il raggio della torta, con le riferite dimensioni, come ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza 2 e 3 unità, ove il cateto da 2 sarebbe facilmente divisibile in due parti uguali ed ove una delle metà rappresenterebbe il raggio del cerchietto, che servirebbe anche da "misuratore" del cateto da 3, tramite l'uso del compasso.
Quest'ultimo procedimento potrebbe essere considerato poco preciso, ma al momento non 'm'è venuto di meglio e ci si potrebbe anche passare, se guardiamo alle possibili imprecisioni dovute all'uso del coltello :mrgreen:

Diamo allora uno sguardo alla seguente figura:
La torta.JPG
La torta.JPG (15.34 KiB) Visto 2914 volte
Intanto osserviamo che con la misura del raggio, presa col compasso, è possibile tracciare l'esagono regolare inscritto nella circonferenza maggiore e che tracciando gli assi dei 6 lati riusciamo a suddividere la corona circolare in 12 parti uguali di misura corrispondente, come già detto, all'area \pi del cerchio di raggio unitario.
Per individuare e tracciare tale raggio, che poi serve per tracciare con il compasso la relativa circonferenza, ho cercato di individuare il punto B della figura per tentativi, tracciando prima l'arco OF e quindi tracciando vari raggi nel settore circolare AOF con centro in A, con l'intento che ognuno di tali raggi rappresentasse la tangente nel punto B alla circonferenza di raggio\text  \bar{OB}, di modo che l'angolo\text  O\hat{B}A=90° e nel tentativo, dividendo\text  \bar{OB} in due parti uguali col solito sistema, di ottenere \text \bar{OB}=2\bar{CO} ed \bar{AB}=3\bar{CO}, talché in definitiva:\text  \bar{OC}=1;  \bar{OB}=2; \bar{AB}=3
Certamente da un punto di vista matematico, col sistema indicato, il problema si sarebbe potuto risolvere con sicurezza se non fossimo stati legati soltanto all'uso di riga e compasso, individuando l'ampiezza degli altri due angoli del triangolo rettangolo, ad esempio tramite la funzione dell'arcotangente, tuttavia egualmente in modo approssimativo.
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Re: 13 a tavola

Messaggio da panurgo » mar feb 27, 2018 7:30 am

Leggo su Elementi di Geometria Razionale del Prof. Dott. Francesco Morra, Casa Editrice Luigi Trevisini, Milano, che ho ereditato da mio padre, che "la risoluzione di un problema consta di tre parti:

1ª) la costruzione, che indica le rette e le crf. da descrivere;
2ª) la dimostrazione, che consiste nel far vedere che la soluzione trovata soddisfa alle condizioni imposte nel quesito (o enunciato);
3ª) la discussione, che consiste nello stabilire se gli elementi dati possono essere presi arbitrari oppure debbano sottoporsi a qualche condizione perché il problema sia geometricamente possibile."

Dunque:

Costruzione

Sulla circonferenza del cerchio dato prendiamo arbitrariamente tre punti: $\text{A}$, $\text{B}$ e $\text{C}$.
TAT01_1.png
TAT01_1.png (47.67 KiB) Visto 2912 volte
Gli assi delle corde $\text{AB}$ e $\text{BC}$ equidistano rispettivamente da $\text{A}$ e $\text{B}$, il primo, e da $\text{B}$ e $\text{C}$, il secondo.
La loro intersezione equidista da tutti e tre i punti e quindi è il centro, $\text{O}$.
Tracciamo la semiretta $\text{OA}$ e il raggio $\text{OD}$
TAT01_2.png
TAT01_2.png (49.06 KiB) Visto 2912 volte
Sulla semiretta $\text{OA}$ stacchiamo ad arbitrio il punto $\text{P}_1$
TAT01_3.png
TAT01_3.png (51.83 KiB) Visto 2912 volte
indi innalziamo la perpendicolare alla semiretta $\text{OA}$, riportiamo su di essa la distanza $\text{OP}_1$ individuando il punto $\text{P}^{\prime}_1$: per detto punto tracciamo la parallela alla semiretta $\text{OA}$.
La lunghezza del segmento $\text{OP}^{\prime}_1$ è $\sqrt{2}$ volte quella del segmento $\text{OP}_1$ per il Teorema di Pitagora
TAT01_4.png
TAT01_4.png (53.04 KiB) Visto 2912 volte
Riportiamo tale distanza sulla semiretta $\text{OA}$ individuando il $\text{OP}_2$ per il quale ripetiamo l’innalzamento della perpendicolare che interseca la retta parallela nel punto $\text{P}^{\prime}_2$: la distanza $\text{OP}^{\prime}_2$ è $\sqrt{3}$ volte quella del segmento $\text{OP}_1$, sempre per il Teorema di Pitagora
Ripetiamo l'operazione per il punto $\text{P}^{\prime}_2$ individuando i punti $\text{P}_3$ e $\text{P}^{\prime}_3$ con la distanza $\text{OP}^{\prime}_3$ che è il doppio ($\sqrt{4}$) della distanza $\text{OP}_1$
TAT01_5.png
TAT01_5.png (54.62 KiB) Visto 2912 volte
Continuiamo così fino al punto $\text{P}_{13}$
TAT01_6.png
TAT01_6.png (64.66 KiB) Visto 2912 volte
Tracciamo la retta $\text{P}_{13}\text{D}$ e le rette ad essa parallele passanti per i punti $\text{P}_k$
TAT01_7.png
TAT01_7.png (103.36 KiB) Visto 2912 volte
Per il Teorema di Talete tali rette individuano sul raggio $\text{OD}$ i punti $\text{Q}_k$ la cui distanza da $\text{O}$ è proporzionale a $\sqrt{k}$
TAT01_8.png
TAT01_8.png (107.39 KiB) Visto 2912 volte
Tracciamo le circonferenze di centro $\text{O}$ passanti per i punti $\text{Q}_k$: le corone circolari così determinate hanno eguale area.

Dimostrazione

L'area di una corona circolare è la differenza tra l’area del cerchio di raggio esterno e quella del cerchio di raggio interno.
Le aree di due cerchi stanno in rapporto tra di loro come i quadrati dei rispettivi raggi.
Presi due cerchi concentrici consecutivi abbiamo
$\displaystyle A=A_{k+1}-A_{k}=2\pi\left(\alpha\sqrt{k+1}\right)^2 - 2\pi\left(\alpha\sqrt{k}\right)^2=2\pi\alpha^2$
Indipendentemente dal valore di $k$ ergo tutte le aree sono uguali Q.E.D.

Discussione

Quando ho prospettato questa soluzione ai commensali, uno di essi ha ribattuto che una torta non è un cerchio e che, in questo modo, chi si fosse pappato la "fetta" esterna avrebbe avuto una razione extra di glassa, il che sarebbe stato ingiusto.
Detto fatto, con un’abile mossa alla Giotto, ho tracciato un cerchio intorno alla torta con il mio coltellino Opinel e ho arraffato la glassa come compenso per il mio disturbo: mmm, si è sciolta in bocca ! :wink:
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Re: 13 a tavola

Messaggio da franco » mar feb 27, 2018 12:13 pm

Bellissima costruzione Guido,

Per distribuire un po' meglio la glassa esterna si potrebbe applicare il tuo metodo per ritagliare la porzione circolare al centro (1/13 da assegnare all'unico della tavolata che è sotto dieta) e poi dividere in 12 parti radiali la parte restante secondo il metodo proposto da Pasquale (che per l'area centrale aveva trovato una soluzione un po' approssimativa).

Se però volete passare ancora un po' di tempo su questo problema, sappiate che la soluzione BELLA al problema è un'altra, ancora diversa.
Forse è una soluzione addirittura filosofica ...

Lascio il topic ancora aperto per qualche giorno.
Se non resto surgelato in Polonia (leggo di temperature a -23 :shock: ) ci risentiamo la settimana prossima.

ciao
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Re: 13 a tavola

Messaggio da Pasquale » mar feb 27, 2018 1:57 pm

Bel quesito e giustissimo l'approccio di Panurgo sul quale concordo pienamente.......però bisogna saperlo fare :shock:
Io posso solo arrangiarmi, per non rinunciare al divertimento che Base5 offre.
Comunque grazie a tutti ed auguri a Franco.
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Re: 13 a tavola

Messaggio da Pasquale » mar feb 27, 2018 6:04 pm

OK.
Rivisitando la magnifica costruzione di Panurgo, per il piacere di meditare su un lavoro così bene studiato e presentato, ho realizzato, come già notato anche da Franco, che la stessa include la possibilità di un taglio della torta così come da me concepita, pur se mal realizzata, non essendo io riuscito ad individuare un procedimento che consentisse l'individuazione sicura e precisa della dimensione del raggio minore o unitario che dir si voglia, lavorando con troppo compasso e poca matematica.
In effetti, riunendo in una sola corona circolare le 12 di cui al disegno finale di Panurgo, è possibile dividere questa in 12 parti radiali e della stessa area del cerchio centrale, così come intendevo che fosse, semplicemente perché così m'era venuta a prima vista.
Chiaramente, continuare a lavorare su di una soluzione giunta già al termine sarebbe inutile, se non per agevolare il taglio della torta con un coltello.
Con questo ho voluto soltanto sottolineare la grandezza del lavoro affrontato da Panurgo che, attraverso un procedimento a dir poco geniale, è riuscito a trovare la strada per individuare quella misura unitaria che ho cercato inutilmente; anzi il suo procedimento ha portato contemporaneamente alla 13 misure cercate.
Devo aggiungere che il suo intervento è risultato anche istruttivo nel richiamare all'attenzione il rigore con cui occorre affrontare certe imprese, diversamente dalla mia leggerezza, dovuta anche al fatto che avevo chiesto se trattavasi di un cerchio o di una torta.
Ad ogni buon fine, pur restando in attesa della ulteriore soluzione annunciata da Franco, nel frattempo dico :

W Panurgo !......sperando di vederlo più spesso su questi schermi, come altri antichi e recenti frequentatori di Base5, che pure farebbe piacere vedere con maggiore frequenza.
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Re: 13 a tavola

Messaggio da franco » mar mar 06, 2018 1:44 pm

Come promesso, vi racconto dell'altro metodo di divisione.

Sostanzialmente si deve tracciare il diametro del cerchio (abbastanza semplice, trattandosi della perpendicolare al punto medio di una qualsiasi corda) e poi suddividerlo in 13 parti uguali.

Questo secondo passaggio è un filo più complicato ma si può fare:
1. traccio la perpendicolare AP al diametro AB partendo da uno degli estremi (questa retta è tangente al cerchio)
2. disegno un'ulteriore perpendicolare (che è quindi parallela al diametro AB) partendo da un punto P qualsiasi
3. con il compasso segno su quest'ultima retta 13 punti equidistanti (P1, P2, ... P13)
4. traccio la congiungente fra P13 e l'estremità B del diametro che incontra la retta AP nel punto Q
5. dal punto Q traccio le rette passanti per tutti i punti Pn che, prolungate sino al diametro, dividono quest'ultimo in 13 parti uguali.

Uff... ci vuole più a scriverlo che a farlo:
13T1.png
dividere il 13 parti il diametro
13T1.png (67.56 KiB) Visto 2860 volte
A questo punto entra in gioco la filosofia Yin & Yang che ci ha insegnato un modo originale per dividere un cerchio in due parti uguali.
YY.png
YY.png (3.04 KiB) Visto 2860 volte
Che ci vuole, basta estendere il concetto a 13!
(Ma l'immagine la copio direttamente dal sito dove ho trovato il problema perché con il mio software di disegno ci vuole una vita ...)
13T2.png
yin e yang
13T2.png (24.66 KiB) Visto 2860 volte
A voi la dimostrazione del fatto che le porzioni (glassa laterale a parte) sono tutte uguali :D

ciao
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Re: 13 a tavola

Messaggio da panurgo » mer mar 07, 2018 7:51 am

TAT02_1.png
TAT02_1.png (38.87 KiB) Visto 2849 volte
Con riferimento alla figura, l'area di ciascuna delle due parti della porzione evidenziata si ottiene come differenza dell'area di due semicerchi. Tali aree sono proporzionali al quadrato dei relativi raggi: $k$ e $k + 1$ per la parte in alto a sinistra, $n - k$ e $n - k - 1$ per quella in basso a destra.
Dunque

$\displaystyle A\propto\left(k + 1\right)^2 - k^2 + \left(n - k\right)^2 - \left(n - k - 1\right)^2$

Si tratta di sue differenze di quadrati

$\displaystyle A\propto\left(k + 1 + k\right)\left(k + 1 - k\right) + \left(n - k + n - k - 1\right)\left(n - k - n + k + 1\right)=\left(2k + 1\right)\left(1\right) + \left(2n - 2k - 1\right)\left(1\right)=2n$

indipendentemente dal valore di $k$, come volevasi dimostrare...
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Re: 13 a tavola

Messaggio da infinito » gio mar 08, 2018 3:15 am

La soluzione di panurgo è, come sempre, non solo ineccepibile, ma anche espressa in modo rigoroso, con figure “degne” di lui, e bella. Diciamo che è "perfetta" in senso etimologico: è compiuta, e non si può migliorare, a meno di cambiarla radicalemente.

Quella di Franco ha “quel qualcosa di originale” che rende degno di nota il problema (che è poi il motivo per cui l'ha postata).

Invece Pasquale ha presentato la sua soluzione come se lui fosse un semplicione ..., ma a me è parsa molto interessante (almeno una volta “aggiustata”) perché mi pare assai più semplice, e “quasi utilizzabile in pratica, nel senso che ha come unica difficoltà il taglio della parte centrale, mentre le altre due soluzioni sono davvero ostiche da mettere in pratica, a meno di non avere un “coltello laser”, o un coltello “a filo” (tipo seghetto da traforo) o qualcosa del genere. Quindi, in fin dei conti: è "la migliore".


Allora cerco di mettere a posto quella di Pasquale cercandoci questo benedetto “segmento unitario”. Ma scordatevi che io possa fare le figure paragonabili a quelle di panurgo …, anzi: non le riporterò affatto, ma mi limito a descriverle.

Parto dal raggio r della torta, e considero (come suggerito da Pasquale) il triangolo rettangolo ACB di cateti 2r e 3r, che ha ipotenusa AB di lunghezza r sqrt{13} .
Col compasso puntato in A ed apertura r, trovo i punti D ed E, rispettivamente sull'ipotenusa e sul cateto di estremo A.
Traccio la parallela alla retta EB passante per D, che interseca AE in un punto F.
La lunghezza di AF è la lunghezza cercata (il cosiddetto “raggio unitario”).
Infatti Ad e AF hanno lunghezza pari ad r, ne segue che il rapporto fra AB e AD è sqrt{13}, e quindi tale è il rapporto fra AE ed AF.


Trovato il “raggio unitario”, passo a dividere la torta (cioè il cerchio) in 12 parti “uguali” (sì: si dovrebbe dire “congruenti”, ma ...), e cerco di farlo con meno azioni possibili.
Voglio trovare le 12 semirette uscenti dal centro, che dividono la torta in 12 fette uguali. Chiamo P_1, P_2, P_3, . . .  , P_1_2 le intersezioni delle 12 rette con la circonferenza, in modo “sequenziale”.

- Intanto traccio una corda che sia vicina al diametro (per facilitarmi nel tracciare l'asse). Ed ho tracciato una riga.
- Puntando sui due estremi della corda traccio due archi di circonferenza (abbastanza grandi), che si intersecano in due punti. Ed ho tracciato due “cerchi” (una loro parte)
- Traccio la retta per i due punti precedenti, che interseca la circonferenza nei punti che chiamo P_1 e P_7, estremi di un diametro. Ho tracciato un'altra retta.
- Puntando in P_1 e in P_7 traccio due archi di circonferenza, che si intersecano in due punti. Ho tracciato altre due circonferenze.
- Traccio il diametro per i due punti, che ha estremi nei punti che chiamo P_4 e P_1_0 . Ho tracciato un'altra retta.
- Con apertura r, punto il compasso in P_1, e trovo i punti della circonferenza P_3 e P_1_1. Ho tracciato un'altra circonferenza.
- Con la stessa apertura r, punto il compasso in P_7, e trovo i punti della circonferenza P_5 e P_9. Ho tracciato un'altra circonferenza.
- Analogamente per trovare gli altri punti “pari” (P_2, P_6, P_8, P_1_2), a partire da P_4 e P_1_0. Ho tracciato altre 2 circonferenze.
- Infine per tagliare le 12 fette mi sono sufficienti 6 tagli, di cui 2 li ho già fatti. Ho tracciato altre 4 rette.

In totale, per tagliare le 12 fette, ho tracciato “solo” 7 rette e 8 circonferenze.

Resta il problema che col coltello non riesco a fare il taglio della circonferenza interna, ma se disegno la circonferenza sulla torta, poi taglio le 12 fette, e solo dopo taglio via le 12 punte (queste 12 punte costituiscono una sola parte), posso agire in due modi diversi: cerco una lama molto flessibile e taglio cercando di farle assumere il profilo della circonferenza disegnata sopra, oppure con un taglio diritto cerco di compensare quello che perdo con quello che acquisto (visto che la fetta ha un angolo di 30° si può avere un errore piccolo).

Fra tutte le soluzioni proposte, l'ultima , per quanto approssimata, mi pare l'unica perseguibile nella pratica (anche perché pigreco è trascendente, e tagliare con riga e compasso un triangolino con la superficie richiesta, a naso mi pare impossibile) ...

… a meno di voler seguire l'esempio di panurgo, che si è pappato la parte esterna della torta, come compenso:
visto che la soluzione che sto per proporre permetterà di tagliare effettivamente la torta con un coltello diritto, ottenendo non solo 13 parti di uguale superficie, ma addirittura congruenti, e visto che questo è un lavoro “a più mani”, noi diciamo che ci spetta un compenso assai maggiore della glassa del bordo (anche perché è strumentale), per cui si procede così:
con due tagli perpendicolari si divide la torta in quattro parti (come sopra),
con altri due tagli si dividono in due le quattro parti,
e con ancora quattro tagli si dividono in due le otto fette precedenti, ottenendo sedici fette (che devono essere uguali).
Poi noi che abbiamo lavorato (Pasquale, panurgo ed io) ci mangiamo una fetta a testa, ed ecco che restano le 13 parti uguali, come richiesto dal testo!
Gaspero

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Re: 13 a tavola

Messaggio da infinito » gio mar 08, 2018 3:34 am

Mi sono dimenticato di aggiungere una parte importante che volevo mettere alla fine, per cui la metto ora:
vedendo le costruzioni che abbiamo fatto sulla torta per poterla tagliare, mi immagino che ci si sia comportati come Totti nella barzelletta che si trova su Base cinque e che si intitola, appunto, "La torta".

Sì, ve la riporto qui sotto:
«Quanto tempo impiega Totti a scrivere "Tanti auguri" sulla torta di compleanno della fidanzata?
Tre ore e trenta secondi: trenta secondi per scrivere le due parole e tre ore per pulire la stampante.»

Infine, visto che si è parlato della barzelletta di Totti e della sua "fidanzata" (ma le barzellette vanno aggiornate o si lasciano così come sono, come se ci fosse scritta la data in cui sono state proposte?), e visto che oggi è l'8 marzo, vi auguro di godervi anche questa https://pbs.twimg.com/media/BiLmeMrIQAATAjt.jpg

Sì, la maggioranza di voi la conosceva già ma è carina, e volevo fare una battuta sul fatto che non amo la festa della donna, per cui ho solo fatto finta di fare gli auguri ...
anzi, li faccio: «Auguri a tutti coloro che sono nati l'8 marzo!» (Io ne conosco uno).
Gaspero

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