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Indichiamo indichiamo con il numero che si ottiene da invertendo l'ordine delle sue cifre;

Sappiamo che un numero è divisibile per 9 se lo è la somma delle sue cifre;
quindi, nel nostro caso se è divisibile per 9, lo è anche , dato che le cifre sono le stesse (e quindi anche la somma di esse);

ancora, sappiamo che un numero è divisibile per 11 se lo è la somma a segni alterni delle sue cifre, da destra verso sinistra;
quindi, nel nostro caso se è divisibile per 11, lo è anche ;
infatti la somma a segni alterni delle cifre di , da dx a sx, è esattamente opposta a quella delle cifre di (se essa vale, per , ad es. 28, per varrà -28);
quindi se tale somma, per , è divisibile per 11, lo sarà anche la somma opposta, ossia anche .
Quindi per qualunque divisibile per un divisore di lo sarà anche .

Purtroppo bisognerebbe anche dimostrare che i divisori di 99 sono gli unici valori possibili per k;
per il momento mi fermo qui!

Admin

C'è qualcosa che non mi torna

Con un esempio numerico, la questione potrei
ridirla così (mi sembra):

Il numero naturale 6 ha la seguente proprietà:
"Se 612 è divisibile per 6 allora il numero ottenuto
da 612 invertendo l'ordine delle sue cifre [216] è
ancora divisibile per 6".
Dimostrare che 6 è un divisore di 99.

Chiaramente 612 e 216 sono multipli di 6, ma 99
non è divisibile per 6... E dunque?

Ciao Bruno,
in effetti il testo non è sufficientemente chiaro;
penso vada inteso così:

Il numero naturale k ha la seguente proprietà: "Per qualsiasi intero n divisibile per k allora il numero ottenuto da n invertendo l'ordine delle sue cifre è ancora divisibile per k".
Dimostrare che k è un divisore di 99.

Ciao
Admin

Ciao a tutti, mi trovavo a ripassare di qua e' ho sbirciato un po' ...

volevo condividere con voi alcune mie considerazioni sul quesito.

1) il contro esempio di Br1 sarebbe valido se la tesi fosse: "Se n è divisibile per k E il numero ottenuto da n invertendo l'ordine delle sue cifre è ancora divisibile per k, dimostrare che k è un divisore di 99.".

2) forse per render la tesi piu' chiara potrebbe essere leggermente modificata cosi:

Il numero naturale k ha la seguente proprietà: "Se n è multiplo di k, allora il numero ottenuto da n invertendo l'ordine delle sue cifre è multiplo k". Dimostrare che k è un divisore di 99.

Quindi nemmeno la riformulazione di Admin va bene o comunque non e' lo stesso problema.

mi correggo, ora la formulazione di admin mi convince.

Io per trattarlo lo riformulerei cosi:

k e' t.c. per ogni a in Z, esiste m in Z t.c. (ak)' = m k. Provare che k e' divisore di 99.


[(n)' e' il numero intero ottenuto da n invertendo le sue cifre].

Salve,
stamattina girovagando in rete alla ricerca di un libro di "Computer Vision", mi sono imbattuto in un sito russo dove, tra le altre cose, era possibile scaricare un libro contenente alcuni dei problemi proposti alle olimpiadi sovietiche con relative soluzioni.
Ovviamente non ho resistito ed ho cercato subito la soluzione a questo problema irrisolto (questo topic è stato aperto più di 3 anni fa!).
Ed effettivamente c'era!

Spero non faccia un torto a nessuno riportando di seguito la soluzione.

Ecco la soluzione originale, in russo:


Da quel che ho capito, dovrebbe essere più o meno così:

Consideriamo un numero qualsiasi le cui cifre più significative siano , ossia il numero .
Il numero che si ottiene invertendo le sue cifre sarà .
Supponiamo che entrambi siano divisibili per .
In questo caso sarà divisibile per anche la somma seguente:



Invertendo le cifre di tale somma si ottiene il numero, che quindi sarà anch'esso divisibile per (per le proprietà del numero ).
In questo caso sarà divisibile per anche la loro differenza, ossia:



Quindi ne concludiamo che è un divisore di ().
Tuttavia non può essere un divisore di , dato che i multipli di non dividono mai contemporaneamente un numero ed il suo "inverso".
Dunque è un divisore di .

SE&O

Admin