Uno strano gioco a premi
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Uno strano gioco a premi
Ho un problema di calcolo “matematico/probabilistico” sul lavoro che non riesco a risolvere. Mi date una mano?
Premetto che l’ho completamente travisato nei termini (per questioni di "riservatezza") ma ritengo possa comunque essere interessante:
Immaginiamo uno strano gioco a premi a scalare.
Ad una certa distanza dal giocatore c’è una specie di casellario con dei vani disposti su R righe e 4 colonne (nell’esempio in basso R=7).
Il giocatore deve lanciare N palline (nell’esempio N=9) che finiscono disposte in maniera casuale nei vani. Dobbiamo ipotizzare che l’abilità del giocatore sia irrilevante: le palline sono sbilenche e la loro distribuzione risulta sempre del tutto casuale!
Al termine dei lanci il giocatore vince 1 euro per ogni casella che è rimasta vuota e 3 euro per ogni riga rimasta completamente vuota.
Qual è il prezzo P della giocata tale che “il valore atteso” del guadagno sia nullo? (naturalmente in funzione di R e N, altrimenti che gusto c'è?)
Nell’esempio qui sopra la vincita totale sarebbe di 19+9=28 €
ciao
P.S. Prima che lo chieda qualcuno lo chiarisco da subito: la pallina finisce sempre in una casella; se per caso cadesse fuori andrebbe ri-tirata!
Premetto che l’ho completamente travisato nei termini (per questioni di "riservatezza") ma ritengo possa comunque essere interessante:
Immaginiamo uno strano gioco a premi a scalare.
Ad una certa distanza dal giocatore c’è una specie di casellario con dei vani disposti su R righe e 4 colonne (nell’esempio in basso R=7).
Il giocatore deve lanciare N palline (nell’esempio N=9) che finiscono disposte in maniera casuale nei vani. Dobbiamo ipotizzare che l’abilità del giocatore sia irrilevante: le palline sono sbilenche e la loro distribuzione risulta sempre del tutto casuale!
Al termine dei lanci il giocatore vince 1 euro per ogni casella che è rimasta vuota e 3 euro per ogni riga rimasta completamente vuota.
Qual è il prezzo P della giocata tale che “il valore atteso” del guadagno sia nullo? (naturalmente in funzione di R e N, altrimenti che gusto c'è?)
Nell’esempio qui sopra la vincita totale sarebbe di 19+9=28 €
ciao
P.S. Prima che lo chieda qualcuno lo chiarisco da subito: la pallina finisce sempre in una casella; se per caso cadesse fuori andrebbe ri-tirata!
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
la tua precisazione non basta a zittirmi !
perchè le righe vuote danno premio, e le colonne no?
le palline sono sempre 9?
le caselle sono in grado di contenere ciascuna tutte le palline?
(immagino che le risposte siano: perchè sì; sì; sì)
Comunque come procedimento, inizierei così:
1) calcolare quante caselle vengono interessate (è un procedimento un po' noioso, ma si fa) e le relative percentuali
2) calcolare per le diverse evenienze (caselle "colpite" 6, o 7 o 8, ecc) la probabilità che vengano interessate 4, 5, 6 ecc righe
Oppure: prendere i numeri della tombola da 1 a 28 e fare qualche centinaio di simulazioni, rimettendo ogni volta dentro il numero estratto (per fare meno estrazioni si può usare la stessa sequenza più volte, numerando le caselle secondo schemi diversi: in verticale, da dx a sn, in diagonale...)
perchè le righe vuote danno premio, e le colonne no?
le palline sono sempre 9?
le caselle sono in grado di contenere ciascuna tutte le palline?
(immagino che le risposte siano: perchè sì; sì; sì)
Comunque come procedimento, inizierei così:
1) calcolare quante caselle vengono interessate (è un procedimento un po' noioso, ma si fa) e le relative percentuali
2) calcolare per le diverse evenienze (caselle "colpite" 6, o 7 o 8, ecc) la probabilità che vengano interessate 4, 5, 6 ecc righe
Oppure: prendere i numeri della tombola da 1 a 28 e fare qualche centinaio di simulazioni, rimettendo ogni volta dentro il numero estratto (per fare meno estrazioni si può usare la stessa sequenza più volte, numerando le caselle secondo schemi diversi: in verticale, da dx a sn, in diagonale...)
Ultima modifica di delfo52 il mar nov 20, 2007 11:30 pm, modificato 1 volta in totale.
Enrico
Ad un prezzo di 45€ il vantaggio sarebbe clamorosamente dalla parte del banco: il giocatore infatti non avrebbe mai la possibilità di una vincita superiore alla giocata; alla meglio pareggia, altrimente perde!Quelo ha scritto:Prendendo il problema "letteralmente" e nel caso esempio indicato, direi che P=45€ è una risposta o se preferite P=7R-4.
Quello che intendevo nella domanda è trovare il valore di P uguale al valore atteso della vincita (che chiaramente varia in funzione di R ed N).
Nel caso in esempio, la vincita massima è di 7R-4=45 €, quella minima è invece 4R-9=19 €. Il valore atteso sarà da qualche parte nel mezzo!
Ulteriore esempio: se mantenessi R=7 ma ponessi N=2 le possibilità sarebbero:
le due palline nella stessa casella -> vincita = 45 prob. = 1/28
le due palline in caselle diverse ma stessa riga -> vincita = 44 prob. = 3/28
le due palline in righe diverse -> vincita = 41 prob. = 24/28
P = (45*1+44*3+41*24)/28 = 41,4643...
Il metodo della simulazione coi bussolotti della tombola è applicabile ma poco pratico se R ed N sono variabili (a meno che non ci limitiamo al caso dell'esempio!).Delfo52 ha scritto:...Oppure: prendere i numeri della tombola da 1 a 28 e fare qualche centinaio di simulazioni...
ciao
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
Nel caso esempio (R=7, N=9) il valore atteso per guadagno nullo è circa 12 euro (sperimentalmente).
=========================
Dopo ulteriori elaborazioni ho concluso che un valore atteso di 24-25 euro è più corretto. Azzarderei anche una formula empirica di questo tipo: P = -11,7 ln(N) + 50,1 (per R=7)
=========================
Dopo ulteriori elaborazioni ho concluso che un valore atteso di 24-25 euro è più corretto. Azzarderei anche una formula empirica di questo tipo: P = -11,7 ln(N) + 50,1 (per R=7)
[Sergio] / $17$
Bel lavoro Quelo, che software hai usato per il grafico?
Io sto provando a procedere però in maniera "matematica" e non sperimentale: il mio ideale sarebbe ottenere una bella formula!
Per ora ho provato a prendere in considerazione solo una parte del gioco, quella che assegna 1 € per ogni casella rimasta vuota.
Le caselle sono in tutto C=4R e per N≤C mi risulterebbe che il premio atteso sia:
$\Large P = C - \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {\matrix{ N \cr i \cr } } \right){{\left( {C - 1} \right)^{\left( {i - 1} \right)} } \over {C^{\left( {N - 1} \right)} }}} i$
Ammesso e non concesso che la formula sia giusta, bisognerebbe adesso legarla ad una formula simile che copra la parte dei 3 € per riga e che tenga conto anche del caso di N>R.
Vedremo...
Io sto provando a procedere però in maniera "matematica" e non sperimentale: il mio ideale sarebbe ottenere una bella formula!
Per ora ho provato a prendere in considerazione solo una parte del gioco, quella che assegna 1 € per ogni casella rimasta vuota.
Le caselle sono in tutto C=4R e per N≤C mi risulterebbe che il premio atteso sia:
$\Large P = C - \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {\matrix{ N \cr i \cr } } \right){{\left( {C - 1} \right)^{\left( {i - 1} \right)} } \over {C^{\left( {N - 1} \right)} }}} i$
Ammesso e non concesso che la formula sia giusta, bisognerebbe adesso legarla ad una formula simile che copra la parte dei 3 € per riga e che tenga conto anche del caso di N>R.
Vedremo...
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician