Pigreco ha scritto:Per quanto riguarda la riflessività della relazione vuota, ricordo che una professoressa ce ne aveva parlato. Disse che nel mondo matematico c'erano entrambe le correnti di pensiero, ovvero chi sostiene che la relazione vuota sia riflessiva e chi non lo sostiene...
La definizione di proprietà riflessiva di una relazione su un insieme X è quella sopra data, ogni elemento dell'insieme X in cui vale la relazione deve essere in relazione con se stesso. Per cui o l'insieme X è vuoto, per cui la proprietà è riflessiva, oppure esiste almeno un elemento che non è in relazione con se stesso (perchè la relazione è vuota) e quindi la definizione non è soddisfatta.
Con questa definizione la relazione vuota su un insieme non vuoto non può essere riflessiva. Sinceramente sono in dubbio, perchè applicando questa definizione non può che essere così, tuttavia viene da pensare di logica che la relazione vuota sia "di equivalenza", perchè ogni elemento "sta sullo stesso piano" degli altri... e per questo la proprietà riflessiva dovrebbe valere.
Cambiare la definizione si potrebbe... ma io ho sempre trovato in giro questa...
Tu infinito perchè pensi che sia riflessiva?
«Tu infinito perché pensi che sia riflessiva?» Non ho capito bene: io penso che la relazione vuota DEFINITA NELL'INSIEME VUOTO (cioè con X insieme vuoto) sia riflessiva, cosa che hai detto anche tu.
Devo dire che ci ho messo un bel po' di tempo ad avere qualche idea per risponderti:
prima capire quello che dicevi,
poi per abbozzare una risposta (che ho cambiato, anche stravolgendola, diverse volte),
infine sono arrivato a quella che segue.
Sì: «viene da pensare di logica che la relazione vuota sia "di equivalenza", perchè ogni elemento "sta sullo stesso piano" degli altri», e anch'io condivido che in un certo senso la relazione “sia di equivalenza” se intesa secondo il senso “comune”.
Però spesso nelle nostre definizioni noi abbiamo delle richieste “aggiuntive”, di cui “diverso da zero” e “non vuoto” sono fra le più comuni; ma si mettono solo per sfizio, ma perché (supposto che di fatto si definiscano enti diversi) a volte si ottengono oggetti che interessano di più.
Per esempio quando si parla di anelli, campi, algebre, ... si richiede che siano strutture non banali (cioè che no abbiano solo lo 0, elemento neutro per la somma e per il prodotto), altrimenti in troppe dimostrazioni si dovrebbero “considerare due casi” (per esempio nelle dimostrazioni per assurdo in cui si arriva alla frase «... allora 3 sarebbe uguale a 2: assurdo», che nell'algebra banale è invece vera).
Ebbene: anche in questo caso si è aggiunta una richiesta a quella di “equivalenza in senso comune”, cioè che la relazione sia “su tutto”.
Però la motivazione più profonda credo che si trovi nella “necessità” di arrivare al concetto di “insieme quoziente”.
Se X è non vuoto e R è la relazione vuota (su X), non ho l'insieme quoziente; se invece X è vuoto allora ce l'ho)
Questo mi ha fatto capire che il concetto «viene da pensare di logica che la relazione vuota sia "di equivalenza", perchè ogni elemento "sta sullo stesso piano" degli altri» non sia corretta: nell'insieme dei naturali la relazione “avere lo stesso resto nella divisione per 3” non mette tutti gli elementi sullo stesso piano, ma lo fa per tutti gli elementi che sono in relazione con un singolo elemento ... e anche questo elemento “è bene” che lo sia.
In conclusione non cambierei affatto al definizione, e lascerei sicuramente la richiesta “forte”.
Tino ha scritto:Sì è vero, l'insieme vuoto gode di molte proprietà interessanti. Una che mi fa sbellicare è la seguente: l'insieme
$\prod_{i \in \emptyset} X_i$
non è vuoto
Sì, può sembrare strano. Però me ne ricorda una che, secondo me, è più comune e più interessante, tant'è che qualche anno fa ci ho fatto una lunghissima discussione proprio qui su base cinque:
L'insieme delle funzioni dall'insieme vuoto all'insieme vuoto ha cardinalità 1, che si scrive ... beh, non mi riesce (sarebbe all'incirca”vuoto alla vuoto = {vuoto}).
L'interessante è che, supposto (come è) che le operazioni di somma e prodotto traggano la loro origine dalla cardinalità dell'insieme unione (fra insiemi disgiunti) e prodotto, e che l'operazione di potenza la tragga dalla cardinalità dell'insieme delle funzioni fra due insiemi, che si dimostra che
0° =1 .
Comunque un'altra interessantissima cosa è che i numeri naturali si possono introdurre in vari modi, uno dei quali usa l'insieme vuoto.
Qui, per fornire “esempi” di insiemi di cardinalità 0, 1, 2, 3, 4, ...n, ... si attua così:
{},
{{}},
{{}, {{}}},
{{}, {{}}, {{}, {{}}}},
{{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}}},
{{}, {{}}, {{}, {{}}}, ..., {{}, {{}}, ..., {... ...}}} (dove l'ultima serie di grafe chiuse ne conta “n+1”),
...
e quello che è ancor più interessante è che è possibile “continuare” “fino all'infinito e oltre” (tratto da Buzz Lightyear), nel senso che si arriva non sono alla cardinalità del numerabile, ma a definire tutti i transifiniti.