La quadratura del triangolo
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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La quadratura del triangolo
Scomporre un triangolo anche non equilatero in 4 parti e ricomporlo come quadrato
Ultima modifica di Quelo il mar mar 01, 2022 8:59 pm, modificato 1 volta in totale.
[Sergio] / $17$
Re: La quadratura del triangolo
Molto carino ![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
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(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: La quadratura del triangolo
In realtà lo stesso metodo si applica a qualsiasi triangolo, per cui rettifico il quesito
Suggerimento: per semplificare il procedimento scegliere un triangolo con area pari a n², per esempio base 2 e altezza 1, oppure base 9 e altezza 8
Suggerimento: per semplificare il procedimento scegliere un triangolo con area pari a n², per esempio base 2 e altezza 1, oppure base 9 e altezza 8
[Sergio] / $17$
Re: La quadratura del triangolo
Intanto, ho visto che è molto più semplice triangolarizzare un quadrato in formato isoscele ![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
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$\text { }$ciao
ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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Re: La quadratura del triangolo
Martin Gardner ha parlato a lungo del problema. Ricordo che parlava di un tavolinetto s-componibile che, incernierato a dovere, poteva assumere la forma triangolare e quella quadrata. Personalmente feci quattro vaschette in terracotta smaltata, come porta-sottaceti, da mettere in tavola con gli antipasti, assemblati a triangolo o a quadrato...
Enrico
Re: La quadratura del triangolo
Più della soluzione in sé, penso che sia interessante il ragionamento.
Per ottenere un quadrato diviso in 4 parti, ipotizzo che ogni parte includa uno degli angoli, quindi i 4 pezzi, che siano triangoli o quadrilateri, dovranno avere un angolo retto.
Inoltre le parti dovranno combaciare a due a due ed i lati adiacenti agli angoli retti, presi a coppie, dovranno misurare quanto il lato del quadrato.
Per ottenere un quadrato diviso in 4 parti, ipotizzo che ogni parte includa uno degli angoli, quindi i 4 pezzi, che siano triangoli o quadrilateri, dovranno avere un angolo retto.
Inoltre le parti dovranno combaciare a due a due ed i lati adiacenti agli angoli retti, presi a coppie, dovranno misurare quanto il lato del quadrato.
[Sergio] / $17$
Re: La quadratura del triangolo
Qualsiasi triangolo con soli 4 pezzi lo ritengo impossibile.
Ad esempio: un triangolo, supponiamo isoscele, con base 36 e altezza 2, avrebbe area 36.
Un quadrato di pari area dovrebbe avere lato 6. Per tagliare il lato da 36 dovrei dividerlo in almeno 6 pezzi. In 4 soltanto é impossibile: 36/4 avrei come minimo una lunghezza di 9, che é maggiore del lato del quadrato (e anche della diagonale).
É quindi matematicamente impossibile.
Ho trovato un metodo per scomporre un qualsiasi triangolo in n pezzi e ricomporlo nel quadrato equivalente ma, per un triangolo qualsiasi, anche scaleno, serve scomporlo in
minimo 7 pezzi.
Ad esempio: un triangolo, supponiamo isoscele, con base 36 e altezza 2, avrebbe area 36.
Un quadrato di pari area dovrebbe avere lato 6. Per tagliare il lato da 36 dovrei dividerlo in almeno 6 pezzi. In 4 soltanto é impossibile: 36/4 avrei come minimo una lunghezza di 9, che é maggiore del lato del quadrato (e anche della diagonale).
É quindi matematicamente impossibile.
Ho trovato un metodo per scomporre un qualsiasi triangolo in n pezzi e ricomporlo nel quadrato equivalente ma, per un triangolo qualsiasi, anche scaleno, serve scomporlo in
minimo 7 pezzi.
la matematica è un opinione
Re: La quadratura del triangolo
Hai ragione, non si può applicare a qualsiasi triangolo
Sono stato un po' precipitoso, intendevo che il triangolo non deve essere necessariamente equilatero o iscolscele, deve però rientrare in un certo intervallo di rapporto base altezza e di forma
Grazie per la precisazione
Sono stato un po' precipitoso, intendevo che il triangolo non deve essere necessariamente equilatero o iscolscele, deve però rientrare in un certo intervallo di rapporto base altezza e di forma
Grazie per la precisazione
[Sergio] / $17$
Re: La quadratura del triangolo
Intanto propongo una soluzione con 3 pezzi valida per tutti i triangoli che hanno il lato maggiore pari a 2 volte l'altezza.
AB é pari a 2 volte CJ.
Basta selezionare il punto medio degli altri 2 lati e sezionare come da disegno, dal punto medio fino a perpendicolare alla base.
Incernierando su D ed E, i due triangoli rossi ruotano nella posizione verde, formando il quadrato.
AB é pari a 2 volte CJ.
Basta selezionare il punto medio degli altri 2 lati e sezionare come da disegno, dal punto medio fino a perpendicolare alla base.
Incernierando su D ed E, i due triangoli rossi ruotano nella posizione verde, formando il quadrato.
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Re: La quadratura del triangolo
Ho trovato una divisione in quattro parti di un triangolo rettangolo il cui rapporto tra i cateti deve essere compreso tra 1 e 2 (estremi esclusi).
Prima il triangolo rettangolo si trasforma in un rettangolo e poi il rettangolo si trasforma in un quadrato come in figura.
![Immagine](https://i.ibb.co/1frm0Xf/Triangolo-in-quadrato-2.png)
Prima il triangolo rettangolo si trasforma in un rettangolo e poi il rettangolo si trasforma in un quadrato come in figura.
![Immagine](https://i.ibb.co/1frm0Xf/Triangolo-in-quadrato-2.png)
Ultima modifica di Maurizio59 il ven mag 12, 2023 1:58 pm, modificato 1 volta in totale.
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Re: La quadratura del triangolo
Ho trovato una divisione più generale.
Essa si può applicare a triangoli rettangoli e acutangoli, isosceli e scaleni che hanno un rapporto tra altezza e base (lato minore) compreso tra 1 e 2 (estremi esclusi).
Questa divisione consiste nel trasformare il triangolo in un parallelogramma e poi trasformare il parallelogramma in un quadrato come in figura.
![Immagine](https://i.ibb.co/DYNJJWy/Triangolo-in-quadrato-3.png)
Se il triangolo non rientra in questi parametri (rapporto minore di 1) penso si possa utilizzare la scomposizione di Dudeney.
Essa si può applicare a triangoli rettangoli e acutangoli, isosceli e scaleni che hanno un rapporto tra altezza e base (lato minore) compreso tra 1 e 2 (estremi esclusi).
Questa divisione consiste nel trasformare il triangolo in un parallelogramma e poi trasformare il parallelogramma in un quadrato come in figura.
![Immagine](https://i.ibb.co/DYNJJWy/Triangolo-in-quadrato-3.png)
Se il triangolo non rientra in questi parametri (rapporto minore di 1) penso si possa utilizzare la scomposizione di Dudeney.
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Re: La quadratura del triangolo
Grazie bautz.
Ho trovato una bella costruzione che consente di trasformare un triangolo scaleno ottusangolo In un quadrato.
Essa permette di dividere il triangolo in 3 o 4 parti come nelle figure seguenti.
Il rapporto tra l'altezza e la base (lato minore) è 2.
![Immagine](https://i.ibb.co/Cpd0gSt/Triangolo-in-4-parti.png)
Questo problema si rivela ricco di soluzioni.
Ho trovato una bella costruzione che consente di trasformare un triangolo scaleno ottusangolo In un quadrato.
Essa permette di dividere il triangolo in 3 o 4 parti come nelle figure seguenti.
Il rapporto tra l'altezza e la base (lato minore) è 2.
![Immagine](https://i.ibb.co/n7njKWv/Triangolo-in-3-parti.png)
![Immagine](https://i.ibb.co/Cpd0gSt/Triangolo-in-4-parti.png)
Questo problema si rivela ricco di soluzioni.
Re: La quadratura del triangolo
Bella!
Anche se limitata a triangoli che abbiano rapporto base altezza di 1:2, questa consente di essere costruita come figura incernierata come accennato da delfo52:
...tavolinetto s-componibile che, incernierato a dovere, poteva assumere la forma triangolare e quella quadrata...
Qui si può incernierare sia la soluzione con 3 pezzi che con 4.
Penso che tra poco arriverai anche alla soluzione con rapporto base/altezza doversi da 1:2![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
Anche se limitata a triangoli che abbiano rapporto base altezza di 1:2, questa consente di essere costruita come figura incernierata come accennato da delfo52:
...tavolinetto s-componibile che, incernierato a dovere, poteva assumere la forma triangolare e quella quadrata...
Qui si può incernierare sia la soluzione con 3 pezzi che con 4.
Penso che tra poco arriverai anche alla soluzione con rapporto base/altezza doversi da 1:2
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
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Re: La quadratura del triangolo
Bel lavoro, Maurizio ![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
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