I sei quadrati.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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I sei quadrati.
Mostrare qual è l'area del triangolo.
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: I sei quadrati.
Rispondo con Pick $I + \frac{P}2 - 1 = 4$
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: I sei quadrati.
Ottimo, Guido
E questo è un modo, naturalmente il problema può essere attraversato da più vie risolutive.
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E questo è un modo, naturalmente il problema può essere attraversato da più vie risolutive.
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Re: I sei quadrati.
La norma del prodotto vettoriale dei vettori $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ vale
$\displaystyle\left\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\|=\left\|\overrightarrow{AB}\right\|\cdot \left\|\overrightarrow{AC}\right\|\cdot \sin\alpha=2A_\text{ABC}$
scriviamo il prodotto vettoriale come
$\displaystyle\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=
\det\left(\begin{array}{cC}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\
x_\text{B}-x_\text{A} & y_\text{B}-y_\text{A} & 0 \\
x_\text{C}-x_\text{A} & y_\text{C}-y_\text{A} & 0
\end{array}\right)
=
\overrightarrow{k}
\det\left(\begin{array}{cC}
x_\text{B}-x_\text{A} & y_\text{B}-y_\text{A} \\
x_\text{C}-x_\text{A} & y_\text{C}-y_\text{A}
\end{array}\right)$
onde segue
$\displaystyle\left\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\|=\det\left(\begin{array}{cC}
x_\text{B}-x_\text{A} & y_\text{B}-y_\text{A} \\
x_\text{C}-x_\text{A} & y_\text{C}-y_\text{A}
\end{array}\right)$
e
$\displaystyle A_\text{ABC}=\left|\frac{\det\left(\begin{array}{cC}
x_\text{B}-x_\text{A} & y_\text{B}-y_\text{A} \\
x_\text{C}-x_\text{A} & y_\text{C}-y_\text{A}
\end{array}\right)}2\right|=\left|\frac{\det\left(\begin{array}{cC}
-1 & -1 \\
5 & -3
\end{array}\right)}2\right| = 4$
Il valore assoluto serve perché il prodotto vettoriale cambia di segno scambiando tra loro i due vettori: in questo modo non dobbiamo preoccuparci dell’ordine con cui li consideriamo.
il panurgo
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Re: I sei quadrati.
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Re: I sei quadrati.
Premesso che i miei studi matematici dell'epoca che fu non giunsero al linguaggio e simbologia di cui sopra, col significato che racchiudono, ho pensato di ricavare l'area del triangolo come differenza fra l'area del rettangolo ABCD e quella dei 3 triangoli retti AEF, ECD e BDF (fermo restando il gusto di trovare ed indicare altre vie):
.
.
.
.
Quindi: 18 - 1/2 - 6 - 15/2 = 4
(Salvo che non abbia compreso nemmeno il significato del quesito posto)
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Quindi: 18 - 1/2 - 6 - 15/2 = 4
(Salvo che non abbia compreso nemmeno il significato del quesito posto)
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$\text { }$ciao
ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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Re: I sei quadrati.
Perfetto, Pasquale
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Re: I sei quadrati.
Panurgo, Pasquale bravissimi!
La mia è:
$\displaystyle A=\left (1+\frac{1}{3} \right ) \cdot (1+5) \cdot \frac{1}{2}=4$
La mia è:
$\displaystyle A=\left (1+\frac{1}{3} \right ) \cdot (1+5) \cdot \frac{1}{2}=4$
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: I sei quadrati.
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Re: I sei quadrati.
Recentemente ho visto un video del mitico Giorgio Dendi su yt in cui diceva che gli piacciono i problemi che presentano più di una via per arrivare alla soluzione.
Quando ho inventato questo "quisss" (per dirla con Pasquale), pensavo proprio a questo, alla possibilità di sperimentare diversi approcci risolutivi.
Ho realizzato lo schema con GeoGebra a fantasia, sempre con GeoGebra ho determinato l'area del triangolo e infine ho cercato di verificarla analiticamente.
Ecco ciò che ho combinato
La cosa che mi ha colpito è che il vertice esterno del triangolo potrebbe essere in qualsiasi punto della retta r.
Mi sono divertito a leggere le vostre soluzioni superbe, penso che forse potrebbe saltar fuori qualche altra idea![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
Quando ho inventato questo "quisss" (per dirla con Pasquale), pensavo proprio a questo, alla possibilità di sperimentare diversi approcci risolutivi.
Ho realizzato lo schema con GeoGebra a fantasia, sempre con GeoGebra ho determinato l'area del triangolo e infine ho cercato di verificarla analiticamente.
Ecco ciò che ho combinato
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La cosa che mi ha colpito è che il vertice esterno del triangolo potrebbe essere in qualsiasi punto della retta r.
Mi sono divertito a leggere le vostre soluzioni superbe, penso che forse potrebbe saltar fuori qualche altra idea
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Re: I sei quadrati.
Tutti i triangoli che hanno un lato in comune su una retta e il terzo vertice su una stessa parallela alla prima retta, hanno la stessa area.
Da cui esce un'altra soluzione:
$\displaystyle A= \frac{\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2}}{2}=4$
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: I sei quadrati.
Gianfranco ha scritto: ↑gio giu 04, 2020 12:14 pmTutti i triangoli che hanno un lato in comune su una retta e il terzo vertice su una stessa parallela alla prima retta, hanno la stessa area.
Infatti.
La presenza del quadratino in basso a destra, a una prima occhiata, un po' ostacola, non permette di "vedere" subito le due rette e di generalizzare la questione, per questo mi ha colpito il problema.
Quel quadratino, quindi, potrebbe avere ben altre dimensioni e collocazioni.
Ottima la tua nuova risoluzione
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Re: I sei quadrati.
Le aree di due triangoli con la stessa base stanno tra loro come le rispettive altezze: da ciò segue che una retta parallela alla base di un triangolo è il luogo geometrico dei vertici di triangoli di pari area che condividono la stessa base.
Quale sarà il luogo geometrico dei vertici di triangoli di eguale perimetro?
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il panurgo
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Re: I sei quadrati.
Se la base dei triangoli coincide con la distanza dei fuochi di un'ellisse e i rimanenti vertici vengono scelti sulla curva, i triangoli risultanti sono isoperimetrici.
(Bruno)
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Re: I sei quadrati.
Ma guarda un po'! Al posto di una retta parallella, un'ellisse... mi ricorda Riemann ![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
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