area del cerchio

[Daniela]

Un saluto a tutti (scusate che sono un po' assente) e uno particolare agli insegnanti, volevo domandarvi come avete insegnato - o come avete imparato a suo tempo, se ve lo ricordate - che l'area del cerchio e' pigreco r^2.
Grazie in anticipo

[fabtor]

Un saluto a tutti (scusate che sono un po' assente) e uno particolare agli insegnanti, volevo domandarvi come avete insegnato - o come avete imparato a suo tempo, se ve lo ricordate - che l'area del cerchio e' pigreco r^2.
Grazie in anticipo

Personalmente mi pare di ricordare che inizialmente fu una nozione data come dato di fatto (elementari).

Poi nell'ambito della scuola media il prof di allora, dopo averci dimostrato la formula della circonferenza Cir partendo di fatto dalla def di Pigreco (Pi), ci aveva fatto prendere dei poligoni regolari inscritti nella cisconferenza stessa e ce li fece dividere in tanti triangoli isosceli con vertice al centro della circonferenza, base il lato e diagonale il raggio.
A questo punto ci fece calcolare l'area dei poligoni come somma delle aree dei triangoli. cioè come $num lati*b*h/2$ facendoci notare che $Perimetro_poligono =numlati*b$ e che quindi Area_poligono=perimetro_poligono * h/2
Infine dopo averci fatto ripetere la cosa per poligoni regolari con un sempre maggiore numero di lati facendoci notare che al crescere del numero dei lati le basi dei triangoli si riducevano e le altezze si avvicinavano a r ci ha fatto ipotizzare cosa sarebbe successo se il poligono avesse avuto infiniti lati.

Così ci ha portato a dedurre che le basi diventavano dei punti e le altezze erano uguali ai lati obliqui; quindi il passo sucessivo fu quello di notare che a questo punto la somma di tutti questi "lati" equivaleva alla misura della circonferenza per cui si giunse alla conclusione che la formula $Area_poligono= Perimetro_poligono*h/2$ era riscrivibile nella forma $Cer = Cir*r/2$ cioè:
$Cer =2*Pi*r*r/2 =$$Pi*r^2$

Infine alle superiori (3° anno mi pare) ci fu dimostrato partendo dalla definizione di pigreco, dalla definizione geometrica di integrale come area sottesa alla curva e dall'osservazione che il cerchio era l'area sottesa della circonferenza.
Cioè:

$pi = Cir/d$
$d = Cir/Pi r =Cir/2Pi$
$2Pir = Cir$
Cer è l’area sottesa alla curva Cir
$quindi \int {Cir} =\int {2*Pi*r}$
$Cer =Pi*r^2$

[Ivana]

Ciao, carissima Daniela...e un caro saluto a tutti/e...
Nella scuola primaria si seguono i due metodi (adatti alle conoscenze in possesso degli alunni) attraverso i quali si calcola l’area (in modo approssimato) delle figure a contorno curvilineo:
1) usando un foglio di carta millimetrata…
2) usando un cartoncino a spessore uniforme e una bilancia di precisione…
Molti insegnanti, pur nella consapevolezza della giusta contestazione che ha mosso Paolo Aproino, amico di Galileo, (ho scritto “ha mosso” e non “mosse” perché tale contestazione è ancora attuale e valida), prediligono, comunque, il procedimento legato all’approssimazione del cerchio mediante poligoni regolari inscritti perché ritenuto “semplice” ed efficace per il risultato "quantitativo" che si vuole ottenere, anche se con l’aumentare del numero dei lati del poligono regolare inscritto la struttura di tale figura si allontana decisamente dalla struttura del cerchio…

[delfo52]

a me fu proposto l'approccio progressivo; ma non mi convinse molto.
A farmi accettare il risultato fu una "verifica approssimativa a occhio".
Disegnato il cerchio, tracciai anche il quadrato circoscritto, diviso in quattro quadrati, ciascuno corrispondente a "raggio al quadrato".
La superficie occupata dal cerchio era chiaramente minore di 4 (assumendo il raggio pari a 1), e maggiore di 2.
Così, a occhio, un poco maggiore di 3; diciamo 3,14....
A mio (modesto) parere, questo approccio andrebbe usato, in prima istanza, non per dimostrare in modo rigido alcunchè, ma per far acquisire una stima . si potrebbe far fare una "previsione" a tutti gli alunni e calcolare il valore medio atteso....
Quando poi si passa al calcolo preciso, e si deve affrontare qualche forzatura (o apparente forzatura) come quella di dire "prendiamo lati infinitamente piccoli", constatare che si arriva ad un risultato compatibile con la stima approssimata, permette di avere contemporaneamente
-maggior fiducia nel procedimento innovativo della "estrapolazione all'infinito"
-maggior autostima nelle proprie capacità "di base".
Bisogna stare attenti alle formule, anche dal punto di vista lessicale: dire "raggio per raggio per 3,14" induce a visualizzare (almeno a me accadeva e accade così) la figura che ho descritto con dei quadrati "raggio per raggio" accatastati, di cui me ne servono un po' più di tre per coprire il cerchio.
Se dico "circonferenza per raggio diviso 2", penso ad un rettangolo largo quanto la circonferenza e alto quanto il raggio; che poi divido a metà con una bella diagonale ottenendo un triangolo rettangolo....che dovrei ripiegare e deformare (mantenendo area costante) fino a ottenere il cerchio di partenza. Operazione che non mi è affatto facile!
!

[fabtor]

Beh, lo stesso discorso varrebbe anche per l'area del poligono regolare con area= perimetro per altezza del triangolo componente diviso 2, ma temo che mi sfugga la natura del "tuo" problema...

[fabtor]

Beh, lo stesso discorso varrebbe anche per l'area del poligono regolare con area= perimetro per altezza del triangolo componente diviso 2, ma temo che mi sfugga la natura del "tuo" problema...

Dopo una lunga assenza torno da queste parti e voglio provare a riprendere il discorso dove era stato interrotto e in particolare alla critica di delfo sull'eccesiva astrazione per passare dal "triangolo associato" al circolo per determinare il cerchio passando per l'area del suddetto triangolo.

A mio personalissimo giudizio, e quindi la cosa è del tutto opinabile i punti salienti da esplicitare in maniera non ambigua sono tre:

1. Far passare il concetto che tutti i poligoni regolari iscritti in una circonferenza possono essere visti come una composizione di triangoli in generale isosceli aventi per base il lato del poligono e per vertice il centro della circonferenza e che quindi le aree dei poligoni sono ottenibili passando dall'area di questi triangolini se moltiplicata per il numero dei lati
   
   Fatto questo occorre esplicitare in maniera chiara che nella formula per l'area così ottenuta A= (N_lati_ poligono X base_triangolino_componente x altezza_triangolino_ componente)/2, la prima parte cioè N_lati_ poligono X base_triangolino_componente corrisponde al perimetro del poligono in questione
   
   Far osservare ai ragazzi cosa succede ai triangolino_componente se consideriamo poligoni regolari inscritti con un numero di lati crescenti, cioè che la base del triangolino si riduce ed i lati obliqui del triangolino come lunghezza convergono a quella che è l'altezza del triangolino stesso, preoccupandosi di far loro notare che comunqueil prodotto N_lati_ poligono X base_triangolino_componente indipendentemente dal fatto che i primi "aumentino vertiginosamente" e la misura del secondo si "riduca drasticamente" in maniera correlata di comunque come risultato il perimetro del poligono

Secondo me, ma come dicevo la cosa è oggetto di critica, così facendo il passaggio dal poligono inscritto nella circonferenza alla circonferenza stessa diventa "molto morbido" e conseguentemente anche i passaggi "perimetro_poligono--> Circonferenza" e "Area poligono --> cerchio".
Di fatto il circolo verrebbe "visto implicitamente" come un poligono regolare a numero di lati infinito e di lunghezza puntiforme e in quanto poligono comunque il paradigma del suo ottenimento per composizione di triangolini componenti - anche se "strani finche si voglia" - regge.
Invece, ma è sempre una mia opinione, mi pare che il passaggio "cerchio -> area del triangolo che ha per base la circonferenza rettificata e per altezza l'altezza del triangolino componente", per quanto sia strettamente correlata al ragionamento esposto, è molto più speculativa ed al più può essere "vista" come una conseguenza estrapolata dal discorso piuttosto che una possibile "associazione dimostrativa" per la determinazione del "come si calcola l'area di una circolo.

[Massimo]

interessante per me sarebbe capire come dimostrare che il pigreco dell'area del cerchio sia lo stesso ottenuto per convergenza di alcune serie numeriche convergenti..

[fabtor]

Premetto che questa è la prima cosa che mi viene in mente e quindi potrebbe essere una topica pazzesca.

L'idea di fondo si basa sempre sulla determinazione dell'area del cerchio vedendo tale figura come un poligono a lati infiniti e puntiformi. In questo caso tuttavia occorre prendere in considerazione il rapporto circonferenza su diametro che danno il rapporto costante che noi chiamiamo pigreco.

Se partiamo dal triangolo equilatero iscritto nella circonferenza per poi passare in sequenza ai poligoni regolari con numero di lati superiore sempre iscritti, per ognuno di essi è possibile determinare il perimetro e per i poligoni a numero di lati pari le diagonali mentre per inumeri di lati dispari il prolungamento del segmento congiungente un vertice ed il baricentro sul lato opposto che per motivi di costruzione passerà nel punto medio del lato opposto al vertice considerato (in pratica è "l'altezza" e mediana del poligono nonchè bisetrice dell'angolo al vertice).

Sia che si consideri la diagonale per un numero di lati pari sia che si consideri la suddetta congiungente, per semplicità chiameremo questi segmenti "d".

A questo punto per ogni figura geometrica regolare iscritta è possibile calcolare il rapporto P/d che se non ho preso un abbaglio dovrebbe tendere proprio a pigreco con l'aumentare del numero dei lati del poligono. Di fatto in teoria abbiamo quindi creato una successione che tende proprio a pigreco.

Anche se la cosa non è agevole possiamo formalizzare analiticamente la nostra successione e a questo punto cercare di determinare la serie ad essa associata e conseguentemente avremo una serie che tende proprio a pigreca. (ma non farò ne l'una ne l'altra cosa per mancanza di tempo, almeno per il momento).

Se poi abbiamo anche la fortuna di riuscire a dimostrare/osservare che tale serie fa parte della famiglia delle armoniche di grado > o = 2 direi che siamo a cavallo.

[Daniela]

Cari amici grazie a tutti; volevo raccontarvi gli ultimi aggiornamenti.
Premessa: calcolare anche "solo" poche cifre di pigreco, so bene che non e' facile, neanche con l'analisi elementare (convergenza lenta e calcoli tediosi). Per quanto ne so, la maniera elementare piu' diretta, efficiente, ed efficace e' quella del metodo di Monte Carlo - vedo pero' che nessuno di voi la ha citata. Forse perche' non e' facile da giustificare, poggiando in realta' su concetti profondi e complessi di teoria della misura? Ma non si intuira' che e' cosi'? Non sono sicura di questo. Voi cosa ne pensate?

I miei figli hanno una specie di nozione intuitiva di infinitesimo, tratta da alcuni video di matematica e dall'abitudine a usare i computer, per cui non dubitano della relazione tra area del cerchio e lunghezza della circonferenza, ma naturalmente anche la lunghezza della circonferenza va calcolata

Come si imposta in pratica il metodo dei poligoni? (OK ha convergenza lenta ma fa niente.) Perche' ci troviamo di fatto a discutere come calcolare il perimetro / il lato di un N-gono (anche se lasciamo perdere l'apotema dando per scontato che diventa molto simile al raggio al crescere di N). Questo con ragazzini che stanno acquisendo il teorema di Pitagora e che comunque non hanno gli Elementi di Euclide sulla punta delle dita. Per dirla tutta io stessa preferirei metodi trigonometrici se proprio dovessi, e non so nemmeno se arriverei in fondo.... Avendo io studiato l'analisi, naturalmente, non scriverei mica l'N-gono, ma mi limiterei a una formula ricorsiva partendo dal quadrato e raddoppiando i lati, tanto la sottosuccessione estratta, visto che il limite esiste, ecc ecc. E gia' cosi' non lo so se arriverei in fondo. Forse preferirei darlo in pasto a qualche software.

Sentendomi quindi io stessa inadeguata, ho riflettuto che, come ha scritto anche Ivana, potrei intanto mostrare l'area di Riemann, no? E dare un limite superiore e inferiore. Ho dunque preso un compasso (il mio, non quello poco preciso dei miei figli) e un foglio di carta millimetrata, e con la massima attenzione - ho frequentato lo scientifico e passato tante ore a fare disegni tecnici! ho tracciato un cerchio, nella fattispecie di 9cm di raggio (il lato corto della carta millimetrata ha 18cm e in ogni caso non ho un compasso di precisione per tracciare cerchi grandi.... ormai non ce li ha nemmeno piu il geometra, fa tutto il CAD) e poi iniziato a contare. La stima grossolana con i cm^2 ha portato a circa +-0.5 di incertezza (un intervallo d'incertezza di 1 per una grandezza che vale circa 3.... e facendo molto piu lavoro dell'ovvio "e' compreso tra 2 e 4"). Iniziando a calcolare i mm^2 ho raggiunto una forbice di, mi pare, 0.09 totale (l'intervallo di incertezza) e passi, una incertezza del 3% puo' andare... ma il risultato e' venuto sbagliato! con pigreco che, non soltanto non era al centro dell'intervallo, ma non c'era nemmeno dentro. Preciso che *io* non i bambini ho ricontato ripetutamente..... ovviamente facendo qualche pasticcio ma comunque, sbagliando pateticamente nonostante il liceo scientifico, la laurea, e il dottorato.

Mi immagino (non ricordo piu') che io a suo tempo lo avevo imparato a memoria, in effetti il ragazzino che ha trascritto 2r TT (in america si dice "one-track mind") non dimentichera' piu' la formula

[fabtor]

Cari amici grazie a tutti; volevo raccontarvi gli ultimi aggiornamenti.
Premessa: calcolare anche "solo" poche cifre di pigreco, so bene che non e' facile, neanche con l'analisi elementare (convergenza lenta e calcoli tediosi). Per quanto ne so, la maniera elementare piu' diretta, efficiente, ed efficace e' quella del metodo di Monte Carlo - vedo pero' che nessuno di voi la ha citata. Forse perche' non e' facile da giustificare, poggiando in realta' su concetti profondi e complessi di teoria della misura? Ma non si intuira' che e' cosi'? Non sono sicura di questo. Voi cosa ne pensate?

I miei figli hanno una specie di nozione intuitiva di infinitesimo, tratta da alcuni video di matematica e dall'abitudine a usare i computer, per cui non dubitano della relazione tra area del cerchio e lunghezza della circonferenza, ma naturalmente anche la lunghezza della circonferenza va calcolata

Come si imposta in pratica il metodo dei poligoni? (OK ha convergenza lenta ma fa niente.) Perche' ci troviamo di fatto a discutere come calcolare il perimetro / il lato di un N-gono (anche se lasciamo perdere l'apotema dando per scontato che diventa molto simile al raggio al crescere di N). Questo con ragazzini che stanno acquisendo il teorema di Pitagora e che comunque non hanno gli Elementi di Euclide sulla punta delle dita. Per dirla tutta io stessa preferirei metodi trigonometrici se proprio dovessi, e non so nemmeno se arriverei in fondo.... Avendo io studiato l'analisi, naturalmente, non scriverei mica l'N-gono, ma mi limiterei a una formula ricorsiva partendo dal quadrato e raddoppiando i lati, tanto la sottosuccessione estratta, visto che il limite esiste, ecc ecc. E gia' cosi' non lo so se arriverei in fondo. Forse preferirei darlo in pasto a qualche software.

Sentendomi quindi io stessa inadeguata, ho riflettuto che, come ha scritto anche Ivana, potrei intanto mostrare l'area di Riemann, no? E dare un limite superiore e inferiore. Ho dunque preso un compasso (il mio, non quello poco preciso dei miei figli) e un foglio di carta millimetrata, e con la massima attenzione - ho frequentato lo scientifico e passato tante ore a fare disegni tecnici! ho tracciato un cerchio, nella fattispecie di 9cm di raggio (il lato corto della carta millimetrata ha 18cm e in ogni caso non ho un compasso di precisione per tracciare cerchi grandi.... ormai non ce li ha nemmeno piu il geometra, fa tutto il CAD) e poi iniziato a contare. La stima grossolana con i cm^2 ha portato a circa +-0.5 di incertezza (un intervallo d'incertezza di 1 per una grandezza che vale circa 3.... e facendo molto piu lavoro dell'ovvio "e' compreso tra 2 e 4"). Iniziando a calcolare i mm^2 ho raggiunto una forbice di, mi pare, 0.09 totale (l'intervallo di incertezza) e passi, una incertezza del 3% puo' andare... ma il risultato e' venuto sbagliato! con pigreco che, non soltanto non era al centro dell'intervallo, ma non c'era nemmeno dentro. Preciso che *io* non i bambini ho ricontato ripetutamente..... ovviamente facendo qualche pasticcio ma comunque, sbagliando pateticamente nonostante il liceo scientifico, la laurea, e il dottorato.

Mi immagino (non ricordo piu') che io a suo tempo lo avevo imparato a memoria, in effetti il ragazzino che ha trascritto 2r TT (in america si dice "one-track mind") non dimentichera' piu' la formula

Per quanto riguarda "il ragazzo di *beep*" devo purtroppo smentirti, almeno in parte: se nella teoria è riuscito a strappare un 6- (sbagliando proprio tra l'altro la formula della Circonferenza) negli esercizi è riuscito a fare un vero scempio (ed è di fatto l'unico ad aver ciccato alla grande la verifica, a parte un suo compagno che però a dei seri problemi d'apprendimento non dichiarati e che ha pensato bene di copiare dal "*beep*".

Per il resto ci devo ragionare su...