Un interessante triangolo

[karl]

Sia ABC il generico triangolo nel quale ,secondo l'ordinaria nomenclatura,siano:
$\large a,b,c$i lati
$\large O$ il circocento,$\large I$l'incentro ,$\large I_a$ l'excentro relativo al lato BC=a
$\large l_a$ la bisettrice dell'angolo in A
Se l'angolo in A è il doppio dell'angolo in B ,dimostrare che:
(1) $\large a^2=b^2+bc$
(2) $\large l_a=\frac{bc}{a}$
(3) $\large\frac{OD}{OE}=\frac{|b-c|}{a}$ dove D ed E sono le proiezioni ortogonali di O sui lati BC ed AC
(4) $\large AI=a-b$
(5) $\large II_a=2b$
(6) I punti $\large C,I,B,I_a$ sono conciclici
karl

[Jumpy94]

$\alpha=2\beta$
1)
$a^2=b^2+c^2-2cbcos\alpha$

$a^2=b^2+bc\underbrace{(\frac{c}{b}-2cos\alpha)}_{A}$
sapendo che $\frac{c}{b}=\frac{sin\gamma}{sin\beta}\qquad$ e che $sin\gamma=sin3\beta=3cos^2\beta sin\beta-sin^3\beta$
$A=\frac{sin3\beta-2cos2\beta sin\beta}{sin\beta}=2-(cos^2\beta+sin^2\beta)=1$
sicché
$a^2=b^2+bc$

2)$l_a=\overline{BF}\qquad$ da cui $l_a=\frac{c}{2cos\beta}=\frac{bc}{a}$
il $cos\beta$ si ricava ossevando che $\frac{b}{a}=\frac{sin\beta}{sin2\beta}$, da cui $cos\beta=\frac{a}{2b}$

3) Si ricava facilmente, osservando gli angoli al centro e alla circonferenza circoscritta nei puni $A$ e $B$ , che:
$\overline{OD}=R|cos\alpha|\qquad$, $\overline{OE}=Rcos\beta$
da cui
$\frac{\overline{OD}}{\overline{OE}}=\frac{|cos\alpha|}{cos\beta}=\frac{|a^2/(2b^2)-1|}{a/(2b)}=\frac{|b-c|}{a}$

4) $\overline{AI}=\frac{r}{sin\beta}$
$r\qquad$(inraggio)$=\frac{acsin\beta}{a+b+c}$(area triangolo/semiperimetro) per cui
$\overline{AI}=\frac{ac}{a+b+c}=\frac{(a-b)ac}{(a-b)(a+b+c)}=\frac{(a-b)ac}{a^2-b^2-bc+ac}=a-b\qquad$.


Ciao
Giampietro
Nardone

[karl]

Bene Giampietro,ottima soluzione.
Il motivo del quesito è stato un problema di maturità dello scorso
anno ( o del 2006) nel quale si chiedeva di trovare il luogo del terzo vertice C
di un triangolo ABC nel quale fosse $\large AB=1$ e appunto $\large \alpha=2\beta$.
Conoscendo la relazione $\large a^2=b^2+bc$ ,la cosa si risolveva subito
fissando,nel piano del triangolo, un riferimento cartesiano ortogonale con A(0,0), B(1,0) e C(x,y).
Resta da chiedersi ,però, quanti prof avrebbero accettato quella relazione senza la
relativa dimostrazione !
Di questo problema di maturità ho una soluzione sintetica che mi pare piuttosto carina.
Almeno per i miei gusti.
Saluti
karl

[Br1]

Anche a me è capitato di rispondere ai sei
punti di Karl per via sintetica. Però non ho
avuto ancora modo di organizzare i miei
scarabocchi e non so se mi sarà possibile
farlo a breve.
Comunque, ho idea che la risoluzione di Karl
sia molto più raffinata, conoscendolo

[karl]

Ringrazio Bruno per il "raffinata" ma la mia soluzione non è
molto diversa da quella di Giampietro... Come ho detto,
l'idea di studiare questo particolare triangolo m'è venuta
rileggendo il tema di maturità dell'anno scorso.
A risentirci e salutissimi.
karl